関数 $f(x)$ が $x=1$ で連続であるかどうかを調べる問題です。ただし、$[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表します（ガウス記号）。 与えられた関数は以下の2つです。 (1) $f(x) = x|x|$ (2) $f(x) = x[x]$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $x=1$ で連続であるかどうかを調べる問題です。ただし、$[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表します（ガウス記号）。

与えられた関数は以下の2つです。

(1) $f(x) = x|x|$

(2) $f(x) = x[x]$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=1$ で連続であるための条件は、以下の3つがすべて成り立つことです。

(1) $f(1)$ が定義されている

(2) $\lim_{x \to 1} f(x)$ が存在する

(3) $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$

**（1）$f(x) = x|x|$ の場合**

(1) $f(1) = 1 \cdot |1| = 1$

(2) $\lim_{x \to 1} f(x)$ を調べます。絶対値記号 $|x|$ は $x>0$ なら $|x| = x$ で、$x<0$ なら $|x| = -x$ です。$x \to 1$ なので、$x$ は正の値を取ることを考慮すると $|x| = x$ となります。

$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} x|x| = \lim_{x \to 1} x \cdot x = \lim_{x \to 1} x^2 = 1^2 = 1$

(3) $\lim_{x \to 1} f(x) = 1 = f(1)$

したがって、$f(x) = x|x|$ は $x=1$ で連続です。

**（2）$f(x) = x[x]$ の場合**

(1) $f(1) = 1 \cdot [1] = 1 \cdot 1 = 1$

(2) $\lim_{x \to 1} f(x)$ を調べます。ガウス記号 $[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表します。

右極限 $\lim_{x \to 1+0} x[x] = 1 \cdot 1 = 1$ （$x$ が 1 より少し大きいとき、 $[x] = 1$）

左極限 $\lim_{x \to 1-0} x[x] = 1 \cdot 0 = 0$ ( $x$が1より少し小さいとき、$[x]=0$)

右極限と左極限が一致しないため、$\lim_{x \to 1} f(x)$ は存在しません。

(3) $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ が成り立ちません。

したがって、$f(x) = x[x]$ は $x=1$ で連続ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x|x|$ は $x=1$ で連続である。

(2) $f(x) = x[x]$ は $x=1$ で連続ではない。