数列 $\{a_n\}$ が $a_n = \frac{n}{n+1}$ で与えられています。この数列は $\alpha = 1$ に収束します。 問題は以下の2つです。 (1) $\epsilon = 0.001$ としたとき、$|a_n - \alpha| < \epsilon$ を満たす自然数 $N$ の値を求めよ。 (2) 任意の正の数 $\epsilon$ に対し、自然数 $N$ をどのようにとればよいか。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_n = \frac{n}{n+1}$ で与えられています。この数列は $\alpha = 1$ に収束します。

問題は以下の2つです。

(1) $\epsilon = 0.001$ としたとき、$|a_n - \alpha| < \epsilon$ を満たす自然数 $N$ の値を求めよ。

(2) 任意の正の数 $\epsilon$ に対し、自然数 $N$ をどのようにとればよいか。

2. 解き方の手順

(1) $\epsilon = 0.001$ の場合

$|a_n - \alpha| < \epsilon$ は $| \frac{n}{n+1} - 1 | < 0.001$ となります。

これを解くために、まず絶対値を外します。

$| \frac{n}{n+1} - 1 | = | \frac{n - (n+1)}{n+1} | = | \frac{-1}{n+1} | = \frac{1}{n+1}$

したがって、$\frac{1}{n+1} < 0.001$ を解く必要があります。

$n+1 > \frac{1}{0.001} = 1000$

$n > 999$

よって、$N = 1000$ とすれば、 $n \ge N$ であるすべての自然数 $n$ に対して $|a_n - \alpha| < \epsilon$ が成り立ちます。

(2) 任意の正の数 $\epsilon$ の場合

$|a_n - \alpha| < \epsilon$ は $| \frac{n}{n+1} - 1 | < \epsilon$ となります。

先ほどと同様に、$\frac{1}{n+1} < \epsilon$ を解く必要があります。

$n+1 > \frac{1}{\epsilon}$

$n > \frac{1}{\epsilon} - 1$

$n$ は自然数なので、$N$ は $\frac{1}{\epsilon} - 1$ よりも大きい最小の自然数とする必要があります。つまり、$N = \lceil \frac{1}{\epsilon} - 1 \rceil$ となります。ここで、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数を表す天井関数です。

3. 最終的な答え

(1) $\epsilon = 0.001$ のとき、$N = 1000$

(2) 任意の正の数 $\epsilon$ に対し、$N = \lceil \frac{1}{\epsilon} - 1 \rceil$