$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$ で定義された関数 $f(x) = \begin{cases} \frac{\tan 2x}{x} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$ が連続関数となるように、$a$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$ で定義された関数

$f(x) = \begin{cases} \frac{\tan 2x}{x} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$

が連続関数となるように、$a$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成立する必要があります。

つまり、$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = a$ となる $a$ を求めれば良いです。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}$ を計算するために、$\tan \theta \approx \theta$ （$\theta \to 0$ のとき）という近似を使うか、ロピタルの定理を使います。ここではロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理より、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \tan 2x}{\frac{d}{dx} x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2 2x}{1} = 2\sec^2(0) = 2(1)^2 = 2$$

したがって、$a=2$ が求める値です。

3. 最終的な答え

$a=2$