2つの問題を解きます。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x - x}{x^3}$ を求めます。 (2) $\int \frac{dx}{x^2 - 1}$ を求めます。

1. 問題の内容

2つの問題を解きます。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x - x}{x^3}$ を求めます。

(2) $\int \frac{dx}{x^2 - 1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x - x}{x^3}$ を求める。

まず、$\sinh x$ のテイラー展開を考えます。

$\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + ...$

したがって、$\sinh x - x = \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + ...$

$\frac{\sinh x - x}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + ...}{x^3} = \frac{1}{3!} + \frac{x^2}{5!} + ...$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{3!} + \frac{x^2}{5!} + ...) = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$

(2) $\int \frac{dx}{x^2 - 1}$ を求める。

$\frac{1}{x^2 - 1}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$

$1 = A(x + 1) + B(x - 1)$

$x = 1$ のとき $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x = -1$ のとき $1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

したがって、$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{2} \frac{1}{x + 1}$

$\int \frac{dx}{x^2 - 1} = \int (\frac{1}{2} \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{2} \frac{1}{x + 1}) dx$

$= \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} dx$

$= \frac{1}{2} \ln |x - 1| - \frac{1}{2} \ln |x + 1| + C$

$= \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x - x}{x^3} = \frac{1}{6}$

(2) $\int \frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C$