数列 $\{a_n\}$ が与えられ、$a_n = \sum_{k=1}^{n} k (\frac{1}{2})^{k-1}$ (n = 1, 2, 3, ...) で定義される。 (1) $a_n$ を $n$ の式で表す。 (2) $2^{n-1} > \frac{1}{2}(n^2 - n)$ (n = 1, 2, 3, ...) が成り立つことを示す。 (3) (2) を用いて $\lim_{n \to \infty} a_n = 4$ を示す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられ、$a_n = \sum_{k=1}^{n} k (\frac{1}{2})^{k-1}$ (n = 1, 2, 3, ...) で定義される。

(1) $a_n$ を $n$ の式で表す。

(2) $2^{n-1} > \frac{1}{2}(n^2 - n)$ (n = 1, 2, 3, ...) が成り立つことを示す。

(3) (2) を用いて $\lim_{n \to \infty} a_n = 4$ を示す。

2. 解き方の手順

(1) $a_n = \sum_{k=1}^{n} k (\frac{1}{2})^{k-1}$ を計算する。

$S = \sum_{k=1}^{n} k x^{k-1}$ とする (ただし $x = \frac{1}{2}$)。

$S = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + nx^{n-1}$

$xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + (n-1)x^{n-1} + nx^n$

$S - xS = (1-x)S = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} - nx^n = \frac{1-x^n}{1-x} - nx^n$

$S = \frac{1-x^n}{(1-x)^2} - \frac{nx^n}{1-x}$

$x = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$S = \frac{1-(\frac{1}{2})^n}{(1-\frac{1}{2})^2} - \frac{n(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1-(\frac{1}{2})^n}{(\frac{1}{2})^2} - \frac{n(\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} = 4(1-(\frac{1}{2})^n) - 2n(\frac{1}{2})^n = 4 - 4(\frac{1}{2})^n - 2n(\frac{1}{2})^n = 4 - (4+2n)(\frac{1}{2})^n = 4 - \frac{2n+4}{2^n}$

したがって、

$a_n = 4 - \frac{2n+4}{2^n}$

(2) 数学的帰納法で証明する。

$n=1$ のとき、 $2^{1-1} = 1 > \frac{1}{2}(1^2 - 1) = 0$ で成立する。

$n=2$ のとき、 $2^{2-1} = 2 > \frac{1}{2}(2^2 - 2) = 1$ で成立する。

$n=3$ のとき、 $2^{3-1} = 4 > \frac{1}{2}(3^2 - 3) = 3$ で成立する。

$n=4$ のとき、 $2^{4-1} = 8 > \frac{1}{2}(4^2 - 4) = 6$ で成立する。

$n=k$ で成立すると仮定する。すなわち $2^{k-1} > \frac{1}{2}(k^2-k)$ が成立する。

$n=k+1$ のとき、$2^{k} > \frac{1}{2}((k+1)^2 - (k+1))$ を示す。

$2^{k} = 2 \cdot 2^{k-1} > 2 \cdot \frac{1}{2}(k^2 - k) = k^2 - k$

$\frac{1}{2}((k+1)^2 - (k+1)) = \frac{1}{2}(k^2 + 2k + 1 - k - 1) = \frac{1}{2}(k^2 + k) = \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{2}k$

$k^2 - k > \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{2}k \Leftrightarrow \frac{1}{2}k^2 - \frac{3}{2}k > 0 \Leftrightarrow k^2 - 3k > 0 \Leftrightarrow k(k-3) > 0$

$k > 3$ のとき成立する。

$k=1,2,3$ のときに成立していることをすでに示しているので、すべての $n$ で成立する。

(3) $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (4 - \frac{2n+4}{2^n}) = 4 - \lim_{n \to \infty} \frac{2n+4}{2^n}$

$2^{n-1} > \frac{1}{2}(n^2-n)$ より、$2^n > n^2 - n$

$\frac{2n+4}{2^n} < \frac{2n+4}{n^2-n} = \frac{2n+4}{n(n-1)}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n+4}{n(n-1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+4}{n^2-n} = 0$

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{2n+4}{2^n} = 0$

$\lim_{n \to \infty} a_n = 4 - 0 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 4 - \frac{2n+4}{2^n}$

(2) 証明済み

(3) $\lim_{n \to \infty} a_n = 4$