関数 $f(x) = 2x^2$ について、以下の問いに答えます。 (1) $x$ が $a$ から $a+h$ まで変化するときの $f(x)$ の平均変化率と、それを用いて $x=a$ における微分係数を求めます。 (2) 放物線 $y = f(x)$ 上の点 $P(a, 2a^2)$ における接線 $l$、接線 $l$ と $x$ 軸の交点 $Q$、点 $Q$ を通り $l$ に垂直な直線 $m$、直線 $m$ と $y$ 軸の交点 $A$ について、以下のものを求めます。 (i) 直線 $l$ の方程式 (ii) 点 $Q$ の座標 (iii) 直線 $m$ の方程式 (iv) 三角形 $APQ$ の面積 $S$ (v) 定積分 $T = \int_0^a \{2x^2 - (\text{直線} l \text{の式}) \} dx$ が表すものを選択肢から選びます。

はい、この数学の問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^2$ について、以下の問いに答えます。

(1) $x$ が $a$ から $a+h$ まで変化するときの $f(x)$ の平均変化率と、それを用いて $x=a$ における微分係数を求めます。

(2) 放物線 $y = f(x)$ 上の点 $P(a, 2a^2)$ における接線 $l$、接線 $l$ と $x$ 軸の交点 $Q$、点 $Q$ を通り $l$ に垂直な直線 $m$、直線 $m$ と $y$ 軸の交点 $A$ について、以下のものを求めます。

(i) 直線 $l$ の方程式

(ii) 点 $Q$ の座標

(iii) 直線 $m$ の方程式

(iv) 三角形 $APQ$ の面積 $S$

(v) 定積分 $T = \int_0^a \{2x^2 - (\text{直線} l \text{の式}) \} dx$ が表すものを選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

(1) 平均変化率と微分係数

$f(x) = 2x^2$ なので、$f(a+h) = 2(a+h)^2 = 2(a^2 + 2ah + h^2) = 2a^2 + 4ah + 2h^2$ です。

平均変化率は、

$\frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{(2a^2 + 4ah + 2h^2) - 2a^2}{h} = \frac{4ah + 2h^2}{h} = 4a + 2h$

よって、アは $4a + 2h$ です。選択肢③。

微分係数 $f'(a)$ は、平均変化率の $h \to 0$ の極限なので、

$f'(a) = \lim_{h \to 0} (4a + 2h) = 4a$

よって、イは $h \to 0$ 、ウは $4a$ です。

(2) 放物線と接線

(i) 接線 $l$ の方程式

$f'(x) = 4x$ なので、$x=a$ における接線の傾きは $f'(a) = 4a$ です。

接線 $l$ の方程式は、$y - 2a^2 = 4a(x - a)$ より、

$y = 4ax - 4a^2 + 2a^2 = 4ax - 2a^2$

よって、エは $4$、オは $2a^2$ です。

(ii) 点 $Q$ の座標

点 $Q$ は接線 $l$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を代入して、

$0 = 4ax - 2a^2$

$4ax = 2a^2$

$x = \frac{2a^2}{4a} = \frac{a}{2}$

よって、点 $Q$ の座標は $(\frac{a}{2}, 0)$ です。カは $a$、キは $2$。

(iii) 直線 $m$ の方程式

直線 $m$ は点 $Q(\frac{a}{2}, 0)$ を通り、接線 $l$ に垂直なので、傾きは $-\frac{1}{4a}$ です。

直線 $m$ の方程式は、$y - 0 = -\frac{1}{4a}(x - \frac{a}{2})$ より、

$y = -\frac{1}{4a}x + \frac{1}{8}$

よって、クは $1$、ケは $4$、コは $1$、サは $8$ です。

(iv) 三角形 $APQ$ の面積 $S$

点 $A$ の座標は $(0, \frac{1}{8})$ です。

三角形 $APQ$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \cdot AQ \cdot |y_P - y_Q|$

$AQ = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (0 - \frac{1}{8})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{1}{64}}$

ちょっと計算が大変なので、別の方法を考えます。

点 P(a, 2a^2), 点 Q(a/2, 0), 点 A(0, 1/8)

線分PQに点Aから垂線を下ろした時の距離 = $\frac{1}{8}$.

PQ = $\sqrt{(a - a/2)^2 + (2a^2 - 0)^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (2a^2)^2}$

もう一つの方法を考えます。

S = $\frac{1}{2} |(x_A - x_Q)(y_P - y_Q) - (x_A - x_P)(y_Q - y_Q)| = \frac{1}{2} |(\frac{-a}{2})(2a^2) - (-a)(0)| = \frac{1}{2} |(-a^3)| = \frac{1}{2} a^3$

そして、AQ =$\frac{1}{8}$ なので、

2.

3.

4.

間違えっています。

Area = PQ * 高さ（点A)の distance / 2 を使う。

PQ = sqrt( (a - a/2)^2 + (2a^2 - 0)^2) = sqrt((a/2)^2 + 4a^4)

Area = (1/2) * |x1y2 - x2y1 + x2y3 - x3y2 + x3y1 - x1y3 |

= (1/2) |a/2*2a^2 + a*1/8 +0 -0 -0 -a*1/8 | = (1/2)(a^3)

S = $\frac{a^3}{2}$。

よって、シは $2$ で、スセは $0$。

(v) 定積分 $T$

$T = \int_0^a \{2x^2 - (4ax - 2a^2)\} dx = \int_0^a (2x^2 - 4ax + 2a^2) dx$

この積分は、曲線 $y = 2x^2$ と直線 $y = 4ax - 2a^2$ で囲まれた図形の面積を表します。

よって、ソは ①です。

3. 最終的な答え

(1) ア: ③ ($4a+2h$), イ: $h \to 0$, ウ: $4a$

(2)

(i) エ: $4$, オ: $2a^2$

(ii) カ: $a$, キ: $2$

(iii) ク: $1$, ケ: $4$, コ: $1$, サ: $8$

(iv) シ: $2$, スセ: $0$

(v) ソ: ①