与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x) - x}{x^3}$ を計算し、広義積分 $\int_0^1 \log(x) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x) - x}{x^3}$

を計算し、広義積分

$\int_0^1 \log(x) dx$

を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 極限の計算 $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x) - x}{x^3}$

ロピタルの定理を使う。$\arcsin(x)$ のテイラー展開を用いる方法もある。

$\arcsin(x)$ のマクローリン展開は

$\arcsin(x) = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + O(x^7)$

であるから、

$\frac{\arcsin(x) - x}{x^3} = \frac{x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + O(x^7) - x}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + O(x^7)}{x^3} = \frac{1}{6} + \frac{3x^2}{40} + O(x^4)$

したがって

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x) - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{6} + \frac{3x^2}{40} + O(x^4) \right) = \frac{1}{6}$

ロピタルの定理を使う場合

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x) - x}{x^3}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理が使える。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - 1}{3x^2}$

これも $\frac{0}{0}$ なので、ロピタルの定理を使う。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{(1 - x^2)^{3/2}}}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{6(1 - x^2)^{3/2}} = \frac{1}{6}$

(2) 広義積分の計算 $\int_0^1 \log(x) dx$

これは広義積分である。部分積分を用いて計算する。

$\int_0^1 \log(x) dx = \lim_{a \to +0} \int_a^1 \log(x) dx$

$f(x) = \log(x)$, $g'(x) = 1$ とすると、 $f'(x) = \frac{1}{x}$, $g(x) = x$ であるから、

$\int_a^1 \log(x) dx = [x \log(x)]_a^1 - \int_a^1 x \cdot \frac{1}{x} dx = [x \log(x)]_a^1 - \int_a^1 1 dx = [x \log(x)]_a^1 - [x]_a^1$

$= (1 \log(1) - a \log(a)) - (1 - a) = 0 - a \log(a) - 1 + a = - a \log(a) - 1 + a$

$\lim_{a \to +0} a \log(a) = 0$ であるから、

$\lim_{a \to +0} \int_a^1 \log(x) dx = \lim_{a \to +0} (- a \log(a) - 1 + a) = - 0 - 1 + 0 = -1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x) - x}{x^3} = \frac{1}{6}$

$\int_0^1 \log(x) dx = -1$