次の関数の微分を計算します。 $y = \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}}$ , ただし $\frac{1}{x^2} = t$

## 問題 9

1. 問題の内容

次の関数の微分を計算します。

$y = \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}}$ , ただし $\frac{1}{x^2} = t$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変数 $t$ を使って表します。

$y = \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} = t \sqrt{x^2 - 1}$

次に、与えられた $t = \frac{1}{x^2}$ より、$x^2 = \frac{1}{t}$ を得ます。

これを $y$ の式に代入すると、

$y = t \sqrt{\frac{1}{t} - 1} = t \sqrt{\frac{1-t}{t}} = \sqrt{t^2 \frac{1-t}{t}} = \sqrt{t(1-t)} = \sqrt{t-t^2}$

$y$ を $t$ について微分します。

$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{t-t^2}}(1-2t)$

$\frac{dy}{dt} = \frac{1-2t}{2\sqrt{t-t^2}}$

$t$ に$\frac{1}{x^2}$ を代入します。

$\frac{dy}{dt} = \frac{1 - \frac{2}{x^2}}{2\sqrt{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^4}}} = \frac{\frac{x^2-2}{x^2}}{2\sqrt{\frac{x^2-1}{x^4}}} = \frac{\frac{x^2-2}{x^2}}{2\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^2}} = \frac{x^2-2}{2\sqrt{x^2-1}}$

$t = \frac{1}{x^2}$ なので、$\frac{dt}{dx} = -\frac{2}{x^3}$.

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{x^2-2}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot (-\frac{2}{x^3}) = \frac{2-x^2}{x^3\sqrt{x^2-1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2-x^2}{x^3\sqrt{x^2-1}}$

## 問題 10

1. 問題の内容

次の関数の微分を計算します。

$y = \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$ , ただし $\sin^{-1} x = t$

2. 解き方の手順

$\sin^{-1} x = t$ なので、$x = \sin t$ となります。

$y = \frac{t}{\sqrt{1 - \sin^2 t}} = \frac{t}{\sqrt{\cos^2 t}} = \frac{t}{|\cos t|}$.

ここでは、$\cos t > 0$ であると仮定すると、$y = \frac{t}{\cos t}$.

$\frac{dy}{dt} = \frac{\cos t - t (-\sin t)}{\cos^2 t} = \frac{\cos t + t \sin t}{\cos^2 t} = \frac{\cos t + \sin^{-1} x \cdot x}{\cos^2 t}$

$\cos^2 t = 1- \sin^2 t = 1-x^2$ なので、 $\cos t = \sqrt{1-x^2}$.

$\frac{dy}{dt} = \frac{\sqrt{1-x^2} + x \sin^{-1} x}{1-x^2}$

$\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx} = \frac{\sqrt{1-x^2} + x \sin^{-1} x}{1-x^2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\sqrt{1-x^2} + x \sin^{-1} x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} = \frac{\sqrt{1-x^2} + x \sin^{-1} x}{(1-x^2)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-x^2} + x \sin^{-1} x}{(1-x^2)^{3/2}}$