関数 $y = x^2 - 3x + 3$ のグラフ上の点 $(2, 1)$ における接線の傾きを求める問題です。

## 問題 3

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 3x + 3$ のグラフ上の点 $(2, 1)$ における接線の傾きを求める問題です。

2. 解き方の手順

1. まず、与えられた関数 $y = x^2 - 3x + 3$ を $x$ について微分し、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = 2x - 3$

2. 次に、点 $(2, 1)$ における接線の傾きを求めるために、$y'$ に $x = 2$ を代入します。

$y'(2) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$

したがって、点 $(2, 1)$ における接線の傾きは $1$ です。

3. 最終的な答え

1

## 問題 4

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. まず、与えられた関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ を $x$ について微分し、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 9$

2. 次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは、極値を取る可能性のある $x$ の値を求めることになります。

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

両辺を $3$ で割ると、

$x^2 - 4x + 3 = 0$

因数分解すると、

$(x - 1)(x - 3) = 0$

したがって、$x = 1, 3$ となります。

3. $x = 1$ と $x = 3$ が極大値、極小値のどちらを取るか調べるため、第二導関数を求めます。

$y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 12$

4. $x = 1$ のとき、$y'' = 6(1) - 12 = -6 < 0$ であるため、$x = 1$ で極大値を取ります。極大値は $y(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 1 = 1 - 6 + 9 - 1 = 3$ です。

5. $x = 3$ のとき、$y'' = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0$ であるため、$x = 3$ で極小値を取ります。極小値は $y(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 1 = 27 - 54 + 27 - 1 = -1$ です。

3. 最終的な答え

極大値：$(1, 3)$

極小値：$(3, -1)$

## 問題 5

1. 問題の内容

放物線 $y = 3x^2 - 6x - 9$ と $x$ 軸、および 2 つの直線 $x = -2$ と $x = 1$ によって囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. まず、放物線 $y = 3x^2 - 6x - 9$ と $x$ 軸との交点を求めます。これは $y = 0$ となる $x$ を求めることになります。

$3x^2 - 6x - 9 = 0$

両辺を $3$ で割ると、

$x^2 - 2x - 3 = 0$

因数分解すると、

$(x - 3)(x + 1) = 0$

したがって、$x = 3, -1$ となります。

2. 積分区間は $x = -2$ から $x = 1$ です。この区間において、関数 $y = 3x^2 - 6x - 9$ が $x$ 軸より上にあるか下にあるかを確認します。$x = -1$ で $y=0$ であり、$-2<x<1$において、$y$は負の値をとるので、積分区間 $-2 \le x \le 1$ で $|y| = |3x^2 - 6x - 9| = - (3x^2 - 6x - 9)$ を積分します。

3. 面積 $S$ は、以下の定積分で計算できます。

$S = \int_{-2}^{1} |3x^2 - 6x - 9| dx = \int_{-2}^{1} -(3x^2 - 6x - 9) dx = \int_{-2}^{1} (-3x^2 + 6x + 9) dx$

$S = [-x^3 + 3x^2 + 9x]_{-2}^{1} = (-1^3 + 3(1)^2 + 9(1)) - (-(-2)^3 + 3(-2)^2 + 9(-2)) = (-1 + 3 + 9) - (8 + 12 - 18) = 11 - 2 = 9$

3. 最終的な答え

9