与えられた3つの関数の微分を求める問題です。 (1) $f(x) = \log(\log(\log(x^2+1))))$ (2) $g(x) = x^{\cos x}$ ($x>0$) (3) $h(x) = \cos^{-1}\left(\frac{1+2\sin x}{2+\sin x}\right)$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数の微分を求める問題です。

(1) $f(x) = \log(\log(\log(x^2+1))))$

(2) $g(x) = x^{\cos x}$ ($x>0$)

(3) $h(x) = \cos^{-1}\left(\frac{1+2\sin x}{2+\sin x}\right)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \log(\log(\log(x^2+1))))$ の微分

合成関数の微分を行います。$\log$ は自然対数を表すものとします。

$f'(x) = \frac{1}{\log(\log(x^2+1))} \cdot \frac{1}{\log(x^2+1)} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x$

$f'(x) = \frac{2x}{(x^2+1)\log(x^2+1)\log(\log(x^2+1))}$

(2) $g(x) = x^{\cos x}$ の微分 ($x>0$)

両辺の対数を取ります。

$\log(g(x)) = \cos x \cdot \log x$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{g'(x)}{g(x)} = -\sin x \cdot \log x + \cos x \cdot \frac{1}{x}$

$g'(x) = x^{\cos x}\left(-\sin x \cdot \log x + \frac{\cos x}{x}\right)$

$g'(x) = x^{\cos x}\left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \log x\right)$

(3) $h(x) = \cos^{-1}\left(\frac{1+2\sin x}{2+\sin x}\right)$ の微分

$\cos^{-1} u$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}$ なので、合成関数の微分を行います。

$u = \frac{1+2\sin x}{2+\sin x}$

$\frac{du}{dx} = \frac{2\cos x(2+\sin x) - (1+2\sin x)\cos x}{(2+\sin x)^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{4\cos x + 2\sin x \cos x - \cos x - 2\sin x \cos x}{(2+\sin x)^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{3\cos x}{(2+\sin x)^2}$

$1-u^2 = 1 - \left(\frac{1+2\sin x}{2+\sin x}\right)^2 = \frac{(2+\sin x)^2 - (1+2\sin x)^2}{(2+\sin x)^2}$

$1-u^2 = \frac{4+4\sin x+\sin^2 x - (1+4\sin x+4\sin^2 x)}{(2+\sin x)^2}$

$1-u^2 = \frac{3-3\sin^2 x}{(2+\sin x)^2} = \frac{3\cos^2 x}{(2+\sin x)^2}$

$\sqrt{1-u^2} = \frac{\sqrt{3}|\cos x|}{2+\sin x}$

$h'(x) = -\frac{1}{\frac{\sqrt{3}|\cos x|}{2+\sin x}} \cdot \frac{3\cos x}{(2+\sin x)^2} = -\frac{2+\sin x}{\sqrt{3}|\cos x|} \cdot \frac{3\cos x}{(2+\sin x)^2}$

$\cos x >0$ ならば、

$h'(x) = -\frac{3}{\sqrt{3}(2+\sin x)} = -\frac{\sqrt{3}}{2+\sin x}$

$\cos x < 0$ ならば、

$h'(x) = \frac{3}{\sqrt{3}(2+\sin x)} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sin x}$

$h'(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2+\sin x}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{2x}{(x^2+1)\log(x^2+1)\log(\log(x^2+1))}$

(2) $g'(x) = x^{\cos x}\left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \log x\right)$

(3) $h'(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2+\sin x}$