## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x}}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

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2. 解き方の手順

(1) について

$\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x} = 0$ であるため、分子は常に0です。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{0}{x} = 0$

(2) について

この極限を求めるために、ロピタルの定理を適用します。

まず、$\lim_{x \to 0} (1 - \cos x) = 1 - \cos 0 = 1 - 1 = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ であるため、$\frac{0}{0}$ の不定形です。

1回目のロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$

再び、$\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} 2x = 0$ であるため、$\frac{0}{0}$ の不定形です。

2回目のロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2}$

ここで、$x \to 0$ のとき、$\cos x \to \cos 0 = 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$

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3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x}}{x} = 0$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$