領域 $D: x^2 + y^2 \le a^2, x \ge 0$ において、二重積分 $I = \iint_D x \, dx \, dy$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

領域 $D: x^2 + y^2 \le a^2, x \ge 0$ において、二重積分 $I = \iint_D x \, dx \, dy$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を極座標で表す。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、

$x^2 + y^2 = r^2$ であるから、$r^2 \le a^2$ となり、$0 \le r \le a$。

また、$x \ge 0$ より、$r\cos\theta \ge 0$ であり、$r > 0$ より $\cos\theta \ge 0$ であるから、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。

二重積分の変数変換を行うと、

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I = \iint_D x \, dx \, dy = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^a r\cos\theta \cdot r \, dr \, d\theta

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= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \, d\theta \int_0^a r^2 \, dr

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= \left[ \sin\theta \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^a

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= \left( \sin\frac{\pi}{2} - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) \left( \frac{a^3}{3} - 0 \right)

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= (1 - (-1)) \cdot \frac{a^3}{3} = 2 \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{2a^3}{3}

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3. 最終的な答え

$\frac{2a^3}{3}$