関数 $f(x)$ を $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1+x^n}$ ($x > 0$) と定義する。このとき、$f(x)$ が連続にならないような $x$ の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ を $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1+x^n}$ ($x > 0$) と定義する。このとき、$f(x)$ が連続にならないような $x$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を計算する。$x$ の値によって場合分けが必要である。

- $0 < x < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} x^n = 0$ なので、

$$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1+x^n} = \frac{0}{1+0} = 0$$

- $x = 1$ のとき、

$$f(1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{n+1}}{1+1^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$

- $x > 1$ のとき、

$$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1+x^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}/x^n}{(1+x^n)/x^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{1/x^n + 1} = \frac{x}{0+1} = x$$

したがって、$f(x)$ は次のように表される。

$$$$

f(x) = \begin{cases}

0 & (0 < x < 1) \\

\frac{1}{2} & (x = 1) \\

x & (x > 1)

\end{cases}

$$$$

次に、$f(x)$ が連続でない点を求める。$x = 1$ の付近で連続性を調べる。

$x$ が $1$ より小さい側から $1$ に近づくとき、$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0$

$x$ が $1$ より大きい側から $1$ に近づくとき、$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$

$f(1) = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 1^-} f(x) \ne \lim_{x \to 1^+} f(x)$ であるため、$x = 1$ で連続ではない。

3. 最終的な答え

$x=1$