関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1+x^n}$ ($x>0$) の連続性を調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1+x^n}$ ($x>0$) の連続性を調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1+x^n}$ を $x$ の値によって場合分けして求めます。

* $0 < x < 1$ のとき：

$x^n \to 0$ ($n \to \infty$) なので、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1+x^n} = \frac{0}{1+0} = 0$

* $x = 1$ のとき：

$f(1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{n+1}}{1+1^n} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

* $x > 1$ のとき：

$\frac{x^{n+1}}{1+x^n} = \frac{x^{n+1}}{x^n(\frac{1}{x^n}+1)} = \frac{x}{\frac{1}{x^n}+1}$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{x^n} \to 0$ なので、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1+x^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{\frac{1}{x^n}+1} = \frac{x}{0+1} = x$

したがって、$f(x)$ は次のように表されます。

$f(x) = \begin{cases}

0 & (0 < x < 1) \\

\frac{1}{2} & (x=1) \\

x & (x > 1)

\end{cases}$

次に、この関数 $f(x)$ の連続性を調べます。

* $0 < x < 1$ では $f(x) = 0$ なので連続です。

* $x > 1$ では $f(x) = x$ なので連続です。

$x=1$ における連続性を調べます。

* 左からの極限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 0 = 0$

* 右からの極限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x = 1$

* $f(1) = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq f(1) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$ より、$x=1$ で $f(x)$ は不連続です。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は $x>0$ において、$x=1$ で不連続です。