与えられた問題は、以下の5つのカテゴリに分かれています。 (1) 逆三角関数の値を求める。 (2) 極限を計算する。 (3) 関数の導関数を求める。 (4) 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ について、接線の方程式を求めたり、極値を求める。 (5) 積分を計算する。

はい、承知いたしました。画像に記載された数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の5つのカテゴリに分かれています。

(1) 逆三角関数の値を求める。

(2) 極限を計算する。

(3) 関数の導関数を求める。

(4) 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ について、接線の方程式を求めたり、極値を求める。

(5) 積分を計算する。

2. 解き方の手順と解答

以下に、各問題の解き方と解答を示します。

(1) 逆三角関数の値を求める

(1-1) $sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$sin(\theta) = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める。主値の範囲は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ なので、$\theta = \frac{\pi}{6}$

(1-2) $cos^{-1}(-\frac{1}{2})$

$cos(\theta) = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める。主値の範囲は $[0, \pi]$ なので、$\theta = \frac{2\pi}{3}$

(1-3) $tan^{-1}(\sqrt{3})$

$tan(\theta) = \sqrt{3}$ となる $\theta$ を求める。主値の範囲は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ なので、$\theta = \frac{\pi}{3}$

(2) 極限を計算する

(2-1) $lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1}$

分子を因数分解すると、$\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1}$ となる。よって、$\lim_{x \to 1} (2x+1) = 2(1)+1 = 3$

(2-2) $lim_{x \to \infty} tan^{-1}x$

$x$ が無限大に近づくとき、$tan^{-1}x$ は $\frac{\pi}{2}$ に近づく。

(2-3) $lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x$

$lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$ という公式を使う。この場合、$a = -1$ なので、$e^{-1} = \frac{1}{e}$

(2-4) $lim_{x \to 0} \frac{sin4x}{x}$

$lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 1$ という公式を使う。$\frac{sin4x}{x} = 4 \cdot \frac{sin4x}{4x}$ なので、$4 \cdot 1 = 4$

(2-5) $lim_{x \to 0} \frac{sin^{-1}x}{x}$

ロピタルの定理を使う。$\frac{d}{dx}sin^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ なので、$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1$

(3) 関数の導関数を求める

(3-1) $y = 3x^2 + \sqrt{x} + \frac{1}{x}$

$y' = 6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

(3-2) $y = xcos^{-1}x - \sqrt{1-x^2}$

$y' = cos^{-1}x + x \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = cos^{-1}x - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = cos^{-1}x$

(3-3) $y = \frac{logx}{x}$

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - logx \cdot 1}{x^2} = \frac{1-logx}{x^2}$

(3-4) $y = sin^3 2x$

$y' = 3sin^2(2x) \cdot cos(2x) \cdot 2 = 6sin^2(2x)cos(2x)$

(3-5) $y = x^x$

両辺の自然対数を取ると、$logy = xlogx$。両辺を微分すると、$\frac{y'}{y} = logx + 1$。よって、$y' = y(logx+1) = x^x(logx+1)$

(4) 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ について

(4-1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求める。

$f(1) = e^{-1^2} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

$f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

$f'(1) = -2(1)e^{-1^2} = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}$

接線の方程式は、$y - f(1) = f'(1)(x-1)$ なので、$y - \frac{1}{e} = -\frac{2}{e}(x-1)$。よって、$y = -\frac{2}{e}x + \frac{3}{e}$

(4-2) $f(x)$ の極値を求める。

$f'(x) = -2xe^{-x^2} = 0$ となる $x$ を求める。$x=0$ のとき、$f'(x)=0$ となる。

$f''(x) = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2xe^{-x^2}) = -2e^{-x^2} + 4x^2e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(2x^2-1)$

$f''(0) = -2e^0 = -2 < 0$ なので、$x=0$ で極大値をとる。極大値は $f(0) = e^{-0^2} = e^0 = 1$

(5) 積分を計算する

(5-1) $\int (2x+1)^8 dx$

$u = 2x+1$ とすると、$du = 2dx$ より、$dx = \frac{1}{2}du$。よって、$\int u^8 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^9}{9} + C = \frac{(2x+1)^9}{18} + C$

(5-2) $\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

$x = 2sin\theta$ とすると、$dx = 2cos\theta d\theta$。$\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-4sin^2\theta} = 2cos\theta$。よって、$\int \frac{2cos\theta}{2cos\theta} d\theta = \int d\theta = \theta + C = sin^{-1}(\frac{x}{2}) + C$

(5-3) $\int cos^2 x dx$

$cos^2 x = \frac{1+cos2x}{2}$ より、$\int \frac{1+cos2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1+cos2x) dx = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x) + C = \frac{x}{2} + \frac{sin2x}{4} + C$

(5-4) $\int tan^{-1}x dx$

部分積分を使う。$u = tan^{-1}x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$。よって、$xtan^{-1}x - \int \frac{x}{1+x^2} dx = xtan^{-1}x - \frac{1}{2}log(1+x^2) + C$

(5-5) $\int \frac{2x+1}{x^2-1} dx$

$\frac{2x+1}{x^2-1} = \frac{2x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$ と部分分数分解する。$2x+1 = A(x+1) + B(x-1)$。$x=1$ のとき、$3 = 2A$ より $A = \frac{3}{2}$。$x=-1$ のとき、$-1 = -2B$ より $B = \frac{1}{2}$。

よって、$\int (\frac{3}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}) dx = \frac{3}{2}log|x-1| + \frac{1}{2}log|x+1| + C = \frac{1}{2}(3log|x-1| + log|x+1|) + C = \frac{1}{2}log|(x-1)^3(x+1)| + C$

3. 最終的な答え

(1)

(1-1) $\frac{\pi}{6}$

(1-2) $\frac{2\pi}{3}$

(1-3) $\frac{\pi}{3}$

(2)

(2-1) $3$

(2-2) $\frac{\pi}{2}$

(2-3) $\frac{1}{e}$

(2-4) $4$

(2-5) $1$

(3)

(3-1) $6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

(3-2) $cos^{-1}x$

(3-3) $\frac{1-logx}{x^2}$

(3-4) $6sin^2(2x)cos(2x)$

(3-5) $x^x(logx+1)$

(4)

(4-1) $y = -\frac{2}{e}x + \frac{3}{e}$

(4-2) $x=0$ で極大値 $1$

(5)

(5-1) $\frac{(2x+1)^9}{18} + C$

(5-2) $sin^{-1}(\frac{x}{2}) + C$

(5-3) $\frac{x}{2} + \frac{sin2x}{4} + C$

(5-4) $xtan^{-1}x - \frac{1}{2}log(1+x^2) + C$

(5-5) $\frac{1}{2}log|(x-1)^3(x+1)| + C$