関数 $f(x, y) = xy(1-x)(2-y)$ の $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 2$ における最大値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = xy(1-x)(2-y)$ の $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 2$ における最大値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x,y)$を$x$と$y$についてそれぞれ偏微分します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = y(1-x)(2-y) + xy(-1)(2-y) = y(2-y)(1-x-x) = y(2-y)(1-2x)$

$\frac{\partial f}{\partial y} = x(1-x)(2-y) + xy(1-x)(-1) = x(1-x)(2-y-y) = x(1-x)(2-2y) = 2x(1-x)(1-y)$

次に、偏微分したものが0になる点を求めます。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$より、$y=0$または$y=2$または$x=\frac{1}{2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 0$より、$x=0$または$x=1$または$y=1$

これらの条件から、$0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 2$ の範囲で考えられる臨界点は、

$(\frac{1}{2}, 1)$です。

次に境界での値を調べます。

$x=0$のとき、$f(0,y) = 0$

$x=1$のとき、$f(1,y) = 0$

$y=0$のとき、$f(x,0) = 0$

$y=2$のとき、$f(x,2) = 0$

したがって、境界では常に0になります。

次に、臨界点$(\frac{1}{2}, 1)$での値を計算します。

$f(\frac{1}{2}, 1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (1 - \frac{1}{2}) \cdot (2 - 1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}$

他の点として、変数が境界値を取る場合も考慮します。例えば、$x = 0, 1$, $y = 0, 2$のとき、$f(x, y) = 0$となります。

したがって、最大値は$(\frac{1}{2}, 1)$での値であると予想されます。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$