以下の5つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x}}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ (4) $\lim_{x \to 0} x \log x$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$

1. 問題の内容

以下の5つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x}}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$

(4) $\lim_{x \to 0} x \log x$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x}}{x}$

分子が0なので、極限値は0です。

(2)

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$

(3)

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$

ロピタルの定理を2回使うと、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$

(4)

$\lim_{x \to 0} x \log x$

$x = \frac{1}{t}$とおくと、$x \to 0$のとき、$t \to \infty$となる。

$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \log \frac{1}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{-\log t}{t}$

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{t \to \infty} \frac{-1/t}{1} = 0$

(5)

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 1/2

(3) 0

(4) 0

(5) 1