関数 $y = (x^3 - 3x^2 + 5)(2x + 1)$ を微分せよ。

解析学微分積の微分多項式

2025/7/23

1. 問題の内容

関数

y = (x^3 - 3x^2 + 5)(2x + 1)

を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式

(uv)' = u'v + uv'

を使用します。

まず、

u = x^3 - 3x^2 + 5

と

v = 2x + 1

とおきます。

次に、

u

と

v

をそれぞれ微分します。

u' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 5) = 3x^2 - 6x

v' = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2

積の微分公式に代入します。

y' = u'v + uv' = (3x^2 - 6x)(2x + 1) + (x^3 - 3x^2 + 5)(2)

これを展開して整理します。

y' = (6x^3 + 3x^2 - 12x^2 - 6x) + (2x^3 - 6x^2 + 10)

y' = 6x^3 + 3x^2 - 12x^2 - 6x + 2x^3 - 6x^2 + 10

y' = (6x^3 + 2x^3) + (3x^2 - 12x^2 - 6x^2) - 6x + 10

y' = 8x^3 - 15x^2 - 6x + 10

3. 最終的な答え

y' = 8x^3 - 15x^2 - 6x + 10

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