関数 $y = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $\theta = \frac{\pi}{2}$ のときの $y$ の値を求めます。 (2) $y$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ ($r > 0$, $0 \le \alpha < 2\pi$) の形で表し、さらに $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$y = 1$ を満たす $\theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $\theta = \frac{\pi}{2}$ のときの $y$ の値を求めます。

(2) $y$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ ($r > 0$, $0 \le \alpha < 2\pi$) の形で表し、さらに $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$y = 1$ を満たす $\theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{\pi}{2}$ を与えられた関数 $y = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ に代入します。

$\sin\frac{\pi}{2} = 1$, $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ であるから、

$y = \sqrt{3} \cdot 1 + 0 = \sqrt{3}$

(2) $y = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。

$r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = (r\cos\alpha)\sin\theta + (r\sin\alpha)\cos\theta$

係数を比較すると、

$r\cos\alpha = \sqrt{3}$

$r\sin\alpha = 1$

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$r^2 = 3 + 1 = 4$

$r > 0$ より $r = 2$

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha = \frac{1}{2}$

$0 \le \alpha < 2\pi$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{6}$

よって、$y = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$

次に、$y=1$ を満たす $\theta$ を求めます。

$2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = 1$

$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より $\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{13\pi}{6}$

$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ または $\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ のとき、$\theta = 0$

$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ のとき、$\theta = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}$

(2) $y = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$, $\theta = 0, \frac{2\pi}{3}$