$f(x) = x^3 - 2x$、 $g(x) = x^2$ とします。$y = f(x)$ のグラフをC、$y = g(x)$ のグラフをDとするとき、CとDで囲まれた部分の面積Sを計算します。

## (1) の問題

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 - 2x$、 $g(x) = x^2$ とします。$y = f(x)$ のグラフをC、$y = g(x)$ のグラフをDとするとき、CとDで囲まれた部分の面積Sを計算します。

2. 解き方の手順

まず、2つのグラフの交点を求めます。

$f(x) = g(x)$ を解きます。

$x^3 - 2x = x^2$

$x^3 - x^2 - 2x = 0$

$x(x^2 - x - 2) = 0$

$x(x-2)(x+1) = 0$

よって、$x = -1, 0, 2$

次に、区間 $[-1, 0]$ と $[0, 2]$ でどちらの関数が大きいかを調べます。

区間 $[-1, 0]$ で、例えば $x = -0.5$ を代入すると、

$f(-0.5) = (-0.5)^3 - 2(-0.5) = -0.125 + 1 = 0.875$

$g(-0.5) = (-0.5)^2 = 0.25$

よって、$f(x) > g(x)$

区間 $[0, 2]$ で、例えば $x = 1$ を代入すると、

$f(1) = 1^3 - 2(1) = -1$

$g(1) = 1^2 = 1$

よって、$g(x) > f(x)$

面積Sは、

$S = \int_{-1}^{0} (f(x) - g(x)) dx + \int_{0}^{2} (g(x) - f(x)) dx$

$S = \int_{-1}^{0} (x^3 - x^2 - 2x) dx + \int_{0}^{2} (-x^3 + x^2 + 2x) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int (x^3 - x^2 - 2x) dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - x^2 + C$

$\int (-x^3 + x^2 + 2x) dx = -\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C$

$S = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - x^2]_{-1}^{0} + [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + x^2]_{0}^{2}$

$S = (0 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1)) + (-\frac{1}{4}(16) + \frac{1}{3}(8) + 4 - 0)$

$S = -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 1 - 4 + \frac{8}{3} + 4$

$S = 1 - \frac{1}{4} + \frac{7}{3} = \frac{12 - 3 + 28}{12} = \frac{37}{12}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{37}{12}$

## (2) の問題

1. 問題の内容

$f(x) = x^4 + 2x$、 $g(x) = 3x^2$ とします。$y = f(x)$ のグラフをC、$y = g(x)$ のグラフをDとするとき、CとDによって囲まれる部分の面積Sを求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つのグラフの交点を求めます。

$f(x) = g(x)$ を解きます。

$x^4 + 2x = 3x^2$

$x^4 - 3x^2 + 2x = 0$

$x(x^3 - 3x + 2) = 0$

$x(x-1)(x^2 + x - 2) = 0$

$x(x-1)(x-1)(x+2) = 0$

$x(x-1)^2(x+2) = 0$

よって、$x = -2, 0, 1$

次に、区間 $[-2, 0]$ と $[0, 1]$ でどちらの関数が大きいかを調べます。

区間 $[-2, 0]$ で、例えば $x = -1$ を代入すると、

$f(-1) = (-1)^4 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$

$g(-1) = 3(-1)^2 = 3$

よって、$g(x) > f(x)$

区間 $[0, 1]$ で、例えば $x = 0.5$ を代入すると、

$f(0.5) = (0.5)^4 + 2(0.5) = 0.0625 + 1 = 1.0625$

$g(0.5) = 3(0.5)^2 = 3(0.25) = 0.75$

よって、$f(x) > g(x)$

面積Sは、

$S = \int_{-2}^{0} (g(x) - f(x)) dx + \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) dx$

$S = \int_{-2}^{0} (-x^4 + 3x^2 - 2x) dx + \int_{0}^{1} (x^4 - 3x^2 + 2x) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int (-x^4 + 3x^2 - 2x) dx = -\frac{1}{5}x^5 + x^3 - x^2 + C$

$\int (x^4 - 3x^2 + 2x) dx = \frac{1}{5}x^5 - x^3 + x^2 + C$

$S = [-\frac{1}{5}x^5 + x^3 - x^2]_{-2}^{0} + [\frac{1}{5}x^5 - x^3 + x^2]_{0}^{1}$

$S = (0 - (-\frac{1}{5}(-32) - 8 - 4)) + (\frac{1}{5} - 1 + 1 - 0)$

$S = (0 - (\frac{32}{5} - 12)) + \frac{1}{5}$

$S = -\frac{32}{5} + 12 + \frac{1}{5} = 12 - \frac{31}{5} = \frac{60 - 31}{5} = \frac{29}{5}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{29}{5}$