関数 $y = (x^3 + 3x)(x^2 - x + 2)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^3 + 3x)(x^2 - x + 2)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

まず、$u = x^3 + 3x$ と $v = x^2 - x + 2$ とおく。

それぞれの微分を求める。

$u' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x) = 3x^2 + 3$

$v' = \frac{d}{dx}(x^2 - x + 2) = 2x - 1$

次に、積の微分公式に代入する。

$y' = u'v + uv' = (3x^2 + 3)(x^2 - x + 2) + (x^3 + 3x)(2x - 1)$

これを展開して整理する。

$y' = (3x^4 - 3x^3 + 6x^2 + 3x^2 - 3x + 6) + (2x^4 - x^3 + 6x^2 - 3x)$

$y' = 3x^4 - 3x^3 + 9x^2 - 3x + 6 + 2x^4 - x^3 + 6x^2 - 3x$

$y' = (3x^4 + 2x^4) + (-3x^3 - x^3) + (9x^2 + 6x^2) + (-3x - 3x) + 6$

$y' = 5x^4 - 4x^3 + 15x^2 - 6x + 6$

3. 最終的な答え

$y' = 5x^4 - 4x^3 + 15x^2 - 6x + 6$