領域 $S$ 上で、関数 $f(x, y) = x$ の二重積分を計算します。ただし、$S$ は $x^2 + y^2 \le 9$、$x \ge 0$、$y \ge 0$ で定義される領域です。言い換えると、半径3の円の第一象限の部分です。

解析学二重積分極座標変換積分
2025/7/23

1. 問題の内容

領域 SS 上で、関数 f(x,y)=xf(x, y) = x の二重積分を計算します。ただし、SSx2+y29x^2 + y^2 \le 9x0x \ge 0y0y \ge 0 で定義される領域です。言い換えると、半径3の円の第一象限の部分です。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、極座標変換が適しています。
x=rcosθx = r \cos \theta
y=rsinθy = r \sin \theta
dxdy=rdrdθdx dy = r dr d\theta
領域 SS は、極座標では 0r30 \le r \le 30θπ20 \le \theta \le \frac{\pi}{2} で表されます。したがって、積分は次のようになります。
Sxdxdy=0π203(rcosθ)rdrdθ=0π203r2cosθdrdθ\iint_S x dx dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^3 (r \cos \theta) r dr d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^3 r^2 \cos \theta dr d\theta
まず、rr に関して積分します。
03r2cosθdr=cosθ03r2dr=cosθ[r33]03=cosθ(333033)=9cosθ\int_0^3 r^2 \cos \theta dr = \cos \theta \int_0^3 r^2 dr = \cos \theta \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^3 = \cos \theta \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 9 \cos \theta
次に、θ\theta に関して積分します。
0π29cosθdθ=90π2cosθdθ=9[sinθ]0π2=9(sinπ2sin0)=9(10)=9\int_0^{\frac{\pi}{2}} 9 \cos \theta d\theta = 9 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta d\theta = 9 \left[ \sin \theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 9 \left( \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 \right) = 9 (1 - 0) = 9

3. 最終的な答え

9

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