関数 $f(x) = \frac{\log x}{x^a}$ について、以下の2つの問いに答える。ただし、$a$は実定数である。 (1) 関数$f(x)$が区間$(0,1]$で広義積分可能となるような$a$の条件を求め、その場合の広義積分$\int_0^1 f(x) dx$の値を求める。 (2) 関数$f(x)$が区間$[1, \infty)$で広義積分可能となるような$a$の条件を求め、その場合の広義積分$\int_1^\infty f(x) dx$の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\log x}{x^a}$ について、以下の2つの問いに答える。ただし、$a$は実定数である。

(1) 関数$f(x)$が区間$(0,1]$で広義積分可能となるような$a$の条件を求め、その場合の広義積分$\int_0^1 f(x) dx$の値を求める。

(2) 関数$f(x)$が区間$[1, \infty)$で広義積分可能となるような$a$の条件を求め、その場合の広義積分$\int_1^\infty f(x) dx$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 区間$(0,1]$における広義積分可能性について

まず、$x=0$の近くでの振る舞いを調べる。$x \to +0$ のとき、$\log x \to -\infty$ であり、$x^a$ は $a$ の値によって挙動が変わる。

部分積分を用いて積分を計算する。

$\int x^{-a} \log x dx$ を計算するために、$u=\log x$, $dv = x^{-a} dx$ とおく。すると、$du = \frac{1}{x} dx$、$v = \int x^{-a} dx = \frac{x^{1-a}}{1-a}$ ($a \neq 1$) となる。

したがって、

$$\int x^{-a} \log x dx = \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \int \frac{x^{1-a}}{1-a} \frac{1}{x} dx = \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{1}{1-a} \int x^{-a} dx = \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{x^{1-a}}{(1-a)^2} + C$$

$a=1$の場合、$\int \frac{\log x}{x} dx = \int \log x (\log x)' dx = \frac{1}{2} (\log x)^2 + C$

$a \neq 1$ のとき、

$$\int_0^1 \frac{\log x}{x^a} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_\epsilon^1 \frac{\log x}{x^a} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \left[ \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{x^{1-a}}{(1-a)^2} \right]_\epsilon^1 = -\frac{1}{(1-a)^2} - \lim_{\epsilon \to +0} \left( \frac{\epsilon^{1-a}}{1-a} \log \epsilon - \frac{\epsilon^{1-a}}{(1-a)^2} \right)$$

ここで、$\lim_{\epsilon \to +0} \epsilon^{1-a} \log \epsilon = 0$ となるのは $1-a > 0$、すなわち $a < 1$ のときである。このとき、$\lim_{\epsilon \to +0} \epsilon^{1-a} = 0$ でもある。

したがって、$a < 1$ のとき、

$$\int_0^1 \frac{\log x}{x^a} dx = -\frac{1}{(1-a)^2}$$

$a = 1$ のとき、

$$\int_0^1 \frac{\log x}{x} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_\epsilon^1 \frac{\log x}{x} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \left[ \frac{1}{2} (\log x)^2 \right]_\epsilon^1 = 0 - \lim_{\epsilon \to +0} \frac{1}{2} (\log \epsilon)^2 = -\infty$$

したがって、広義積分は発散する。

(2) 区間$[1, \infty)$における広義積分可能性について

$x \to \infty$ のとき、$\log x$ はゆっくりと増加するが、$x^a$ は $a$ の値によって増加または減少する。

$a=1$の時、$\int_1^\infty \frac{\log x}{x}dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{\log x}{x} dx = \lim_{b \to \infty} [\frac{1}{2} (\log x)^2]_1^b = \lim_{b \to \infty} \frac{1}{2} (\log b)^2 = \infty$

$a \neq 1$ のとき、

$$\int_1^\infty \frac{\log x}{x^a} dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{\log x}{x^a} dx = \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{x^{1-a}}{(1-a)^2} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left( \frac{b^{1-a}}{1-a} \log b - \frac{b^{1-a}}{(1-a)^2} \right) + \frac{1}{(1-a)^2}$$

ここで、$\lim_{b \to \infty} b^{1-a} \log b = 0$ となるのは $1-a < 0$、すなわち $a > 1$ のときである。このとき、$\lim_{b \to \infty} b^{1-a} = 0$ でもある。

したがって、$a > 1$ のとき、

$$\int_1^\infty \frac{\log x}{x^a} dx = \frac{1}{(1-a)^2} = \frac{1}{(a-1)^2}$$

3. 最終的な答え

(1) $a < 1$ のとき広義積分可能であり、その値は $-\frac{1}{(1-a)^2}$.

(2) $a > 1$ のとき広義積分可能であり、その値は $\frac{1}{(a-1)^2}$.