与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} (\sin x)^{\tan x}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} (\sin x)^{\tan x}$

2. 解き方の手順

まず、この極限を $y$ とおきます。

$y = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} (\sin x)^{\tan x}$

両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \ln (\sin x)^{\tan x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \tan x \ln (\sin x)$

ここで、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、

$\ln y = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{\sin x}{\cos x} \ln (\sin x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{\ln (\sin x)}{\frac{\cos x}{\sin x}}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\ln y = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{-1}{\sin^2 x}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{\cos x}{\sin x} \cdot (-\sin^2 x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} (-\cos x \sin x)$

$\ln y = - \cos (\frac{\pi}{2}) \sin (\frac{\pi}{2}) = -0 \cdot 1 = 0$

$\ln y = 0$ より $y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

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