次の3つの不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{1}{1 + \cos x + \sin x} dx$ (2) $\int \sin^3 x \cos^3 x dx$ (3) $\int \frac{1}{1 - \tan^2 x} dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{1}{1 + \cos x + \sin x} dx$

(2) $\int \sin^3 x \cos^3 x dx$

(3) $\int \frac{1}{1 - \tan^2 x} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$t = \tan \frac{x}{2}$ とおくと、

$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$, $\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$, $dx = \frac{2}{1 + t^2} dt$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{1 + \cos x + \sin x} dx = \int \frac{1}{1 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} + \frac{2t}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt$

$= \int \frac{1}{\frac{1 + t^2 + 1 - t^2 + 2t}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt$

$= \int \frac{1 + t^2}{2 + 2t} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt = \int \frac{1}{1 + t} dt$

$= \log |1 + t| + C = \log |1 + \tan \frac{x}{2}| + C$

(2)

$\int \sin^3 x \cos^3 x dx = \int (\sin x \cos x)^3 dx = \int (\frac{1}{2} \sin 2x)^3 dx = \frac{1}{8} \int \sin^3 2x dx$

ここで、$\sin^3 2x = \sin 2x (1 - \cos^2 2x) = \sin 2x - \sin 2x \cos^2 2x$ なので、

$\frac{1}{8} \int \sin^3 2x dx = \frac{1}{8} \int (\sin 2x - \sin 2x \cos^2 2x) dx$

$= \frac{1}{8} \int \sin 2x dx - \frac{1}{8} \int \sin 2x \cos^2 2x dx$

$= \frac{1}{8} (-\frac{1}{2} \cos 2x) - \frac{1}{8} \int \sin 2x \cos^2 2x dx$

$\int \sin 2x \cos^2 2x dx$ について、 $u = \cos 2x$ とおくと $du = -2 \sin 2x dx$ より、

$\int \sin 2x \cos^2 2x dx = \int u^2 (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \frac{u^3}{3} + C = -\frac{1}{6} \cos^3 2x + C$

したがって、

$\frac{1}{8} \int \sin^3 2x dx = -\frac{1}{16} \cos 2x + \frac{1}{48} \cos^3 2x + C$

(3)

$\int \frac{1}{1 - \tan^2 x} dx = \int \frac{1}{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} dx = \int \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x} dx = \int \frac{\cos^2 x}{\cos 2x} dx$

ここで、$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ なので、

$\int \frac{\cos^2 x}{\cos 2x} dx = \int \frac{\frac{1 + \cos 2x}{2}}{\cos 2x} dx = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{\cos 2x} + 1) dx$

$= \frac{1}{2} \int \sec 2x dx + \frac{1}{2} \int 1 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \log |\sec 2x + \tan 2x| + \frac{1}{2} x + C$

$= \frac{1}{4} \log |\sec 2x + \tan 2x| + \frac{1}{2} x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\log |1 + \tan \frac{x}{2}| + C$

(2) $-\frac{1}{16} \cos 2x + \frac{1}{48} \cos^3 2x + C$

(3) $\frac{1}{4} \log |\sec 2x + \tan 2x| + \frac{1}{2} x + C$