問題2と3は、それぞれいくつかの関数の導関数を求める問題です。 問題2では、$k$を正の定数として、以下の関数の導関数を求めます。 (1) $\sinh kx$ (2) $\cosh kx$ (3) $\tanh kx$ 問題3では、以下の関数の導関数を求めます。 (1) $\frac{x}{\log x}$ (2) $\arctan \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ (表記を修正) (3) $\log(1 + \tanh x)$

1. 問題の内容

問題2と3は、それぞれいくつかの関数の導関数を求める問題です。

問題2では、$k$を正の定数として、以下の関数の導関数を求めます。

(1) $\sinh kx$

(2) $\cosh kx$

(3) $\tanh kx$

問題3では、以下の関数の導関数を求めます。

(1) $\frac{x}{\log x}$

(2) $\arctan \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ (表記を修正)

(3) $\log(1 + \tanh x)$

2. 解き方の手順

問題2

(1) $\sinh kx$ の導関数

$\sinh x$ の導関数は $\cosh x$ です。合成関数の微分を使うと、

$\frac{d}{dx} \sinh kx = k \cosh kx$

(2) $\cosh kx$ の導関数

$\cosh x$ の導関数は $\sinh x$ です。合成関数の微分を使うと、

$\frac{d}{dx} \cosh kx = k \sinh kx$

(3) $\tanh kx$ の導関数

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ であることを利用します。$\tanh x$ の導関数は $\frac{1}{\cosh^2 x}$ または $1 - \tanh^2 x$ です。合成関数の微分を使うと、

$\frac{d}{dx} \tanh kx = \frac{k}{\cosh^2 kx} = k(1 - \tanh^2 kx)$

問題3

(1) $\frac{x}{\log x}$ の導関数

商の微分法を使うと、

$\frac{d}{dx} \frac{x}{\log x} = \frac{(\log x)(1) - (x)(\frac{1}{x})}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

(2) $\arctan \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ の導関数

まず、$y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ と置くと、$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - x^2}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$.

次に、$\arctan x$ の導関数は $\frac{1}{1+x^2}$ であることを利用します。

合成関数の微分を使うと、

$\frac{d}{dx} \arctan \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{1 + (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})^2} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1}{1 + \frac{x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1+x^2}{1+2x^2} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{(1+x^2)^{1/2}}{1+2x^2}$

ここで、$x = \tan \theta$とおくと、$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{\tan \theta}{\sec \theta} = \sin \theta$.

よって、$\arctan (\sin \theta) = \theta$. ゆえに、$\theta = \arctan \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$. したがって、

$\frac{d}{dx} \arctan \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2}\cdot 1 - x\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2} \frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

あるいは、$\arctan \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \arctan (\sinh(\operatorname{arcsinh}(x)))$.

また、$\arctan (\sinh \theta)=\operatorname{gd}\theta$と定義する。

ただし、$\operatorname{gd}\theta = \int_0^\theta \frac{d \tau}{\cosh \tau}$はグーデルマン関数を表す。

そして、$\frac{d}{dx} \arctan \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

(3) $\log(1 + \tanh x)$ の導関数

$\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ である。

$\frac{d}{dx} \log(1 + \tanh x) = \frac{1}{1 + \tanh x} \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{1}{1 + \frac{\sinh x}{\cosh x}} \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh x + \sinh x} \cdot \frac{1}{\cosh x} = \frac{1}{e^x} \cdot \frac{2}{e^x + e^{-x}} = \frac{2}{e^{2x}+1}$.

$\frac{d}{dx}\log(1+\tanh x) = \frac{1}{1+\tanh x} \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{1}{1+\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}} \cdot \frac{4}{(e^x+e^{-x})^2} = \frac{e^x+e^{-x}}{e^x+e^{-x}+e^x-e^{-x}} \cdot \frac{4}{(e^x+e^{-x})^2} = \frac{e^x+e^{-x}}{2e^x} \cdot \frac{4}{(e^x+e^{-x})^2} = \frac{2}{e^x(e^x+e^{-x})} = \frac{2}{e^{2x}+1}$.

3. 最終的な答え

問題2

(1) $k \cosh kx$

(2) $k \sinh kx$

(3) $\frac{k}{\cosh^2 kx}$

問題3

(1) $\frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

(3) $\frac{2}{e^{2x} + 1}$