与えられた8つの関数について、不定積分を求める問題です。つまり、それぞれの関数 $f(x)$ に対して、$\int f(x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた8つの関数について、不定積分を求める問題です。つまり、それぞれの関数 $f(x)$ に対して、$\int f(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $\int x(2x+1)^8 dx$

$u = 2x+1$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$。また、$x = \frac{u-1}{2}$。よって、

$\int \frac{u-1}{2} u^8 \frac{1}{2}du = \frac{1}{4} \int (u^9 - u^8) du = \frac{1}{4} (\frac{u^{10}}{10} - \frac{u^9}{9}) + C = \frac{1}{4} (\frac{(2x+1)^{10}}{10} - \frac{(2x+1)^9}{9}) + C = \frac{(2x+1)^{10}}{40} - \frac{(2x+1)^9}{36} + C$

(2) $\int \sin(3x+1) dx$

$u = 3x+1$ と置換すると、$du = 3dx$ より $dx = \frac{1}{3}du$。

$\int \sin(u) \frac{1}{3}du = -\frac{1}{3} \cos(u) + C = -\frac{1}{3}\cos(3x+1) + C$

(3) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$。

$\int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{(\log x)^3}{3} + C$

(4) $\int \frac{e^x}{1+e^x} dx$

$u = 1+e^x$ と置換すると、$du = e^x dx$。

$\int \frac{1}{u} du = \log|u| + C = \log(1+e^x) + C$ （$1+e^x>0$より絶対値記号は不要）

(5) $\int x \log x dx$

部分積分を用いる。$u = \log x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x}dx$, $v = \frac{x^2}{2}$。

$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

(6) $\int x \arctan x dx$ ($\arctan x$ は $\tan^{-1} x$ と同じ)

部分積分を用いる。$u = \arctan x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2}dx$, $v = \frac{x^2}{2}$。

$\int x \arctan x dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx$.

ここで $\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx = \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx = x - \arctan x + C$.

よって、$\int x \arctan x dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2} (x - \arctan x) + C = \frac{x^2+1}{2} \arctan x - \frac{x}{2} + C$.

(7) $\int \frac{1}{x^2-2x-3} dx$

$\frac{1}{x^2-2x-3} = \frac{1}{(x-3)(x+1)}$ を部分分数分解する。$\frac{1}{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}$ とすると、$1 = A(x+1) + B(x-3)$。

$x = 3$ のとき $1 = 4A$ より $A = \frac{1}{4}$。$x = -1$ のとき $1 = -4B$ より $B = -\frac{1}{4}$。

よって、$\int \frac{1}{x^2-2x-3} dx = \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+1}) dx = \frac{1}{4} (\log|x-3| - \log|x+1|) + C = \frac{1}{4} \log|\frac{x-3}{x+1}| + C$.

(8) $\int \frac{1}{x^4+1} dx$

これは少し難しい。$\frac{1}{x^4+1} = \frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1}$と分解できる。

$1 = (Ax+B)(x^2-\sqrt{2}x+1) + (Cx+D)(x^2+\sqrt{2}x+1)$ を解くと、$A = \frac{1}{2\sqrt{2}}$, $B = \frac{1}{2}$, $C = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$, $D = \frac{1}{2}$.

$\int \frac{1}{x^4+1} dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \int \frac{x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} dx - \frac{1}{2\sqrt{2}} \int \frac{x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1} dx$.

各積分を解くのは大変だが、最終的な積分結果は以下のようになる。

$\int \frac{1}{x^4+1} dx = \frac{1}{4\sqrt{2}} \log \left| \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1} \right| + \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan(x\sqrt{2}+1) + \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan(x\sqrt{2}-1) + C$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(2x+1)^{10}}{40} - \frac{(2x+1)^9}{36} + C$

(2) $-\frac{1}{3}\cos(3x+1) + C$

(3) $\frac{(\log x)^3}{3} + C$

(4) $\log(1+e^x) + C$

(5) $\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

(6) $\frac{x^2+1}{2} \arctan x - \frac{x}{2} + C$

(7) $\frac{1}{4} \log|\frac{x-3}{x+1}| + C$

(8) $\frac{1}{4\sqrt{2}} \log \left| \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1} \right| + \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan(x\sqrt{2}+1) + \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan(x\sqrt{2}-1) + C$