曲線 $y = \frac{2}{3} \sqrt{x^3}$ の $0 \le x \le 8$ の部分の長さを求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{2}{3} \sqrt{x^3}$ の $0 \le x \le 8$ の部分の長さを求めます。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、次の公式で与えられます。

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

まず、与えられた関数 $y = \frac{2}{3} \sqrt{x^3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ を微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

次に、$1 + (\frac{dy}{dx})^2$ を計算します。

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + (\sqrt{x})^2 = 1 + x$

したがって、曲線の長さ $L$ は、次の積分で計算できます。

$L = \int_0^8 \sqrt{1 + x} dx$

$u = 1 + x$ と置換すると、$du = dx$ となり、積分の範囲は $x=0$ のとき $u=1$, $x=8$ のとき $u=9$ になります。

$L = \int_1^9 \sqrt{u} du = \int_1^9 u^{\frac{1}{2}} du = \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_1^9$

$L = \frac{2}{3} (9^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} ((\sqrt{9})^3 - 1) = \frac{2}{3} (3^3 - 1) = \frac{2}{3} (27 - 1) = \frac{2}{3} \cdot 26 = \frac{52}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{52}{3}$