曲線 $3y^2 = x(x-1)^2$ のループ部分の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $3y^2 = x(x-1)^2$ のループ部分の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線の式 $3y^2 = x(x-1)^2$ から $y$ を $x$ の関数として表します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x(x-1)^2}{3}} = \pm \frac{|x-1|}{\sqrt{3}}\sqrt{x}$

ループ部分は $0 \le x \le 1$ の範囲に存在します。 $0 \le x \le 1$ では $x-1 \le 0$ より $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ なので、

$y = \pm \frac{1-x}{\sqrt{3}}\sqrt{x}$

ループの上半分を $y = \frac{1-x}{\sqrt{3}}\sqrt{x}$ とすると、曲線長は次の積分で与えられます。

$L = 2 \int_0^1 \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

$\frac{dy}{dx}$ を計算します。

$y = \frac{1}{\sqrt{3}}(x^{1/2} - x^{3/2})$ より

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{1/2}) = \frac{1}{2\sqrt{3}}(\frac{1}{\sqrt{x}} - 3\sqrt{x})$

$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{1}{12}(\frac{1}{x} - 6 + 9x)$

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + \frac{1}{12}(\frac{1}{x} - 6 + 9x) = \frac{1}{12}(\frac{1}{x} + 6 + 9x) = \frac{1}{12}(\frac{1}{\sqrt{x}} + 3\sqrt{x})^2 = \frac{1}{12} (\frac{1+3x}{\sqrt{x}})^2$

$\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{\frac{1}{12}(\frac{1+3x}{\sqrt{x}})^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}}|\frac{1+3x}{\sqrt{x}}| = \frac{1+3x}{2\sqrt{3x}}$

したがって、曲線長は

$L = 2 \int_0^1 \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx = 2 \int_0^1 \frac{1+3x}{2\sqrt{3x}} dx = \frac{1}{\sqrt{3}}\int_0^1 (\frac{1}{\sqrt{x}} + 3\sqrt{x}) dx = \frac{1}{\sqrt{3}} [2\sqrt{x} + 2x^{3/2}]_0^1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(2+2) = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{3}}{3}$