与えられた10個の関数について、それぞれ微分を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた10個の関数について、それぞれ微分を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 - 4x^2 + 3x - 2$

多項式の微分なので、各項を微分します。

$y' = 3x^2 - 8x + 3$

(2) $y = (2x + 3)^3$

合成関数の微分を使います。$u = 2x + 3$とすると、$y = u^3$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot 2 = 6(2x + 3)^2$

$y' = 6(2x + 3)^2$

(3) $y = (x^2 + 2x - 1)^3$

これも合成関数の微分です。$u = x^2 + 2x - 1$とすると、$y = u^3$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot (2x + 2) = 3(x^2 + 2x - 1)^2(2x + 2)$

$y' = 6(x + 1)(x^2 + 2x - 1)^2$

(4) $y = \frac{3x}{2x^2 + 1}$

商の微分法を使います。

$y' = \frac{(3)(2x^2 + 1) - (3x)(4x)}{(2x^2 + 1)^2} = \frac{6x^2 + 3 - 12x^2}{(2x^2 + 1)^2} = \frac{-6x^2 + 3}{(2x^2 + 1)^2}$

$y' = \frac{3(1 - 2x^2)}{(2x^2 + 1)^2}$

(5) $y = \sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}$

$y' = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4} - 1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$

$y' = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$

(6) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{(x + 1)^2}} = (x + 1)^{-\frac{2}{3}}$

$y' = -\frac{2}{3}(x + 1)^{-\frac{2}{3} - 1} = -\frac{2}{3}(x + 1)^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{(x + 1)^5}}$

$y' = -\frac{2}{3\sqrt[3]{(x + 1)^5}}$

(7) $y = \frac{1}{1 + \sqrt{x}}$

$y = (1 + x^{\frac{1}{2}})^{-1}$

$y' = -1(1 + x^{\frac{1}{2}})^{-2} \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})^2}$

$y' = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})^2}$

(8) $y = \sqrt{(x + 1)(x - 2)} = \sqrt{x^2 - x - 2} = (x^2 - x - 2)^{\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{1}{2}(x^2 - x - 2)^{-\frac{1}{2}}(2x - 1) = \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x - 2}}$

$y' = \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x - 2}}$

(9) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

$y' = \frac{(1)(\sqrt{x^2 + 1}) - x(\frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}(2x))}{(\sqrt{x^2 + 1})^2} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1 - x^2}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}$

$y' = \frac{1}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}$

(10) $y = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} = (\frac{1 - x}{1 + x})^{\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{1}{2}(\frac{1 - x}{1 + x})^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{(-1)(1 + x) - (1 - x)(1)}{(1 + x)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} \cdot \frac{-1 - x - 1 + x}{(1 + x)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} \cdot \frac{-2}{(1 + x)^2} = -\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} \cdot \frac{1}{(1 + x)^2} = -\frac{1}{(1 + x)^{\frac{3}{2}}\sqrt{1 - x}} = -\frac{1}{(1+x)\sqrt{1 - x^2}}$

$y' = -\frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3x^2 - 8x + 3$

(2) $y' = 6(2x + 3)^2$

(3) $y' = 6(x + 1)(x^2 + 2x - 1)^2$

(4) $y' = \frac{3(1 - 2x^2)}{(2x^2 + 1)^2}$

(5) $y' = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$

(6) $y' = -\frac{2}{3\sqrt[3]{(x + 1)^5}}$

(7) $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})^2}$

(8) $y' = \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x - 2}}$

(9) $y' = \frac{1}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}$

(10) $y' = -\frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$