与えられた積分の計算： $\int \frac{x}{(1+x^2)^3} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分の計算：

$\int \frac{x}{(1+x^2)^3} dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

まず、$u = 1+x^2$ と置きます。

このとき、$\frac{du}{dx} = 2x$ より、$du = 2x \, dx$ となります。

したがって、$x \, dx = \frac{1}{2} du$ です。

これらを元の積分に代入すると、

$\int \frac{x}{(1+x^2)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-3} du$

となります。

次に、べき関数の積分を行います。

$\int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C$

したがって、

$\frac{1}{2} \int u^{-3} du = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2u^2} \right) + C = -\frac{1}{4u^2} + C$

最後に、$u = 1+x^2$ を代入して、

$-\frac{1}{4u^2} + C = -\frac{1}{4(1+x^2)^2} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4(1+x^2)^2} + C$