以下の3つの積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$ (2) $\int_{1}^{2} x \sqrt{x-1} dx$ (3) $\int \sin^3 x dx$

1. 問題の内容

以下の3つの積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$

(2) $\int_{1}^{2} x \sqrt{x-1} dx$

(3) $\int \sin^3 x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分範囲も変更します。$x=1$ のとき $u=\log 1 = 0$, $x=e$ のとき $u=\log e = 1$ です。

したがって、

$\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx = \int_{0}^{1} u du = \left[ \frac{1}{2}u^2 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(1^2 - 0^2) = \frac{1}{2}$

(2) $\int_{1}^{2} x \sqrt{x-1} dx$

$u = x-1$ と置換すると、$x = u+1$, $dx = du$ となります。

積分範囲も変更します。$x=1$ のとき $u=1-1 = 0$, $x=2$ のとき $u=2-1 = 1$ です。

したがって、

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x-1} dx = \int_{0}^{1} (u+1) \sqrt{u} du = \int_{0}^{1} (u^{3/2} + u^{1/2}) du = \left[ \frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{2}{3}u^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{5}(1^{5/2}-0) + \frac{2}{3}(1^{3/2}-0) = \frac{2}{5} + \frac{2}{3} = \frac{6+10}{15} = \frac{16}{15}$

(3) $\int \sin^3 x dx$

$\sin^3 x = \sin^2 x \cdot \sin x = (1-\cos^2 x)\sin x$ であるから、

$\int \sin^3 x dx = \int (1-\cos^2 x) \sin x dx$

$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。

したがって、

$\int (1-\cos^2 x) \sin x dx = \int (1-u^2)(-du) = \int (u^2-1) du = \frac{1}{3}u^3 - u + C = \frac{1}{3} \cos^3 x - \cos x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{16}{15}$

(3) $\frac{1}{3} \cos^3 x - \cos x + C$ （$C$は積分定数）