与えられた関数 $f(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続かどうかを判定する問題です。関数は次のように定義されています。 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続かどうかを判定する問題です。関数は次のように定義されています。

$f(x, y) = \begin{cases}

\frac{xy}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\

0 & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

関数が原点で連続であるためには、極限 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ が存在し、その値が $f(0, 0)$ に等しい必要があります。すなわち、$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = f(0, 0) = 0$ を示す必要があります。

極限が存在しないことを示すために、異なる経路で原点に近づくことを考えます。

まず、$y = mx$ という直線に沿って原点に近づくことを考えます。このとき、

$$$$

f(x, mx) = \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \frac{mx^2}{x^2 + m^2x^2} = \frac{mx^2}{(1 + m^2)x^2} = \frac{m}{1 + m^2}

$$$$

$x \to 0$ とすると、

$$$$

\lim_{x \to 0} f(x, mx) = \lim_{x \to 0} \frac{m}{1 + m^2} = \frac{m}{1 + m^2}

$$$$

この極限値は $m$ に依存します。例えば、$m = 1$ のとき、極限値は $\frac{1}{2}$ であり、$m = 0$ のとき、極限値は $0$ です。したがって、原点への近づき方によって極限値が異なるため、$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ は存在しません。

3. 最終的な答え

関数 $f(x, y)$ は原点で連続ではありません。