与えられた関数 $f(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続かどうかを判定する問題です。 関数は以下のように定義されています。 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続かどうかを判定する問題です。

関数は以下のように定義されています。

$f(x, y) = \begin{cases}

\frac{xy}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\

0 & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

関数 $f(x, y)$ が原点で連続であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

(1) $f(0, 0)$ が定義されている。

(2) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ が存在する。

(3) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = f(0, 0)$

この問題では、 $f(0, 0) = 0$ と定義されています。

次に、極限 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ を計算します。このとき、近づき方によって極限値が異なる場合、極限は存在しません。

まず、$y = mx$ に沿って $(0, 0)$ に近づけてみます。このとき、

$f(x, mx) = \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \frac{mx^2}{x^2 + m^2x^2} = \frac{mx^2}{(1 + m^2)x^2} = \frac{m}{1 + m^2}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} f(x, mx) = \frac{m}{1 + m^2}$

この極限値は $m$ に依存するため、近づき方によって極限値が異なります。

例えば、$m = 1$ のとき、極限値は $\frac{1}{2}$ であり、$m = 0$ のとき、極限値は $0$ です。

したがって、$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ は存在しません。

3. 最終的な答え

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ が存在しないため、関数 $f(x, y)$ は原点 $(0, 0)$ で連続ではありません。

答え：原点で連続ではない。