領域 $D$ が $|x| + |y| \leq 1$ で定義されるとき、二重積分 $\iint_D xy \, dxdy$ を計算せよ。

1. 問題の内容

領域 $D$ が $|x| + |y| \leq 1$ で定義されるとき、二重積分 $\iint_D xy \, dxdy$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を考えます。$|x| + |y| \leq 1$ は、x-y平面上のひし形を表します。具体的には、以下の4つの直線で囲まれた領域です。

\begin{itemize}

\item $x + y = 1$

\item $-x + y = 1$

\item $x - y = 1$

\item $-x - y = 1$

\end{itemize}

この領域での二重積分 $\iint_D xy \, dxdy$ を計算します。領域 $D$ は $x$ 軸と $y$ 軸に関して対称であるため、積分は以下のように分割して考えることができます。

領域 $D$ は４つの象限に分割できます。積分関数 $xy$ は、$x$ と $y$ の両方が奇関数であるため、第1象限の積分と第3象限の積分は符号が同じで絶対値が等しく、第2象限の積分と第4象限の積分は符号が同じで絶対値が等しくなります。さらに、第1象限の積分と第4象限の積分は符号が逆で絶対値が等しく、第2象限の積分と第3象限の積分は符号が逆で絶対値が等しくなります。したがって、領域全体での積分は 0 になります。

厳密に計算する場合は、積分を4つの領域に分割して計算します。

\begin{itemize}

\item 第1象限: $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1-x$

\item 第2象限: $-1 \leq x \leq 0$, $0 \leq y \leq 1+x$

\item 第3象限: $-1 \leq x \leq 0$, $-1-x \leq y \leq 0$

\item 第4象限: $0 \leq x \leq 1$, $-1+x \leq y \leq 0$

\end{itemize}

したがって、積分は以下のようになります。

$$\iint_D xy \, dxdy = \int_0^1 \int_0^{1-x} xy \, dy dx + \int_{-1}^0 \int_0^{1+x} xy \, dy dx + \int_{-1}^0 \int_{-1-x}^0 xy \, dy dx + \int_0^1 \int_{-1+x}^0 xy \, dy dx$$

しかし、$xy$ は奇関数であり、積分領域は $x$ 軸、$y$ 軸に関して対称なので、積分は 0 になります。

3. 最終的な答え

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