$x^2e^x$を積分します。

承知いたしました。画像の問題を解いていきます。まず問題文から、積分する問題であることが分かります。

今回は、(4) $x^2e^x$、(5) $xe^{-x^2}$、(6) $\frac{\log x}{x}$、(7) $\frac{(\log x)^2}{x}$、(8) $\frac{\log x}{x^2}$、(9) $x\log(x^2+3)$、(10) $\log(x^2+1)$、(11) $x\sin x$、(12) $x\sin 2x$、(13) $x\cos 3x$、(14) $x\sec^2 x$、(15) $x^2\sin x$、(16) $\sin^3 x$、(17) $\cos^4 x$、(18) $\sin^4 x\cos^3 x$、(19) $\tan x$、(20) $\cot x$、(21) $\frac{1}{1-\cos x}$、(22) $\frac{1}{\sin x}$、(23) $\arctan x$、(24) $x\arctan x$、(25) $\sin 5x\cos x$、(26) $\sinh\frac{x}{a}$、(27) $\cosh\frac{x}{a}$ を積分します。

**(4) $x^2e^x$**

1. 問題の内容

$x^2e^x$を積分します。

2. 解き方の手順

部分積分を2回使用します。部分積分の公式は$\int u dv = uv - \int v du$です。

$u = x^2$, $dv = e^x dx$とすると、$du = 2x dx$, $v = e^x$なので、

$$\int x^2e^x dx = x^2e^x - \int 2xe^x dx = x^2e^x - 2\int xe^x dx$$

次に、$\int xe^x dx$を計算します。$u = x$, $dv = e^x dx$とすると、$du = dx$, $v = e^x$なので、

$$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C_1$$

したがって、

$$\int x^2e^x dx = x^2e^x - 2(xe^x - e^x) + C = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$$

3. 最終的な答え

$\int x^2e^x dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

**(5) $xe^{-x^2}$**

1. 問題の内容

$xe^{-x^2}$を積分します。

2. 解き方の手順

置換積分を使用します。$u = -x^2$とすると、$du = -2x dx$なので、$x dx = -\frac{1}{2}du$となります。

$$\int xe^{-x^2} dx = \int e^u (-\frac{1}{2}du) = -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2}e^u + C$$

$u = -x^2$を代入して、

$$\int xe^{-x^2} dx = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C$$

3. 最終的な答え

$\int xe^{-x^2} dx = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C$

**(6) $\frac{\log x}{x}$**

1. 問題の内容

$\frac{\log x}{x}$を積分します。

2. 解き方の手順

置換積分を使用します。$u = \log x$とすると、$du = \frac{1}{x} dx$なので、

$$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{1}{2}u^2 + C$$

$u = \log x$を代入して、

$$\int \frac{\log x}{x} dx = \frac{1}{2}(\log x)^2 + C$$

3. 最終的な答え

$\int \frac{\log x}{x} dx = \frac{1}{2}(\log x)^2 + C$

**(7) $\frac{(\log x)^2}{x}$**

1. 問題の内容

$\frac{(\log x)^2}{x}$を積分します。

2. 解き方の手順

置換積分を使用します。$u = \log x$とすると、$du = \frac{1}{x} dx$なので、

$$\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \int u^2 du = \frac{1}{3}u^3 + C$$

$u = \log x$を代入して、

$$\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \frac{1}{3}(\log x)^3 + C$$

3. 最終的な答え

$\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \frac{1}{3}(\log x)^3 + C$

**(8) $\frac{\log x}{x^2}$**

1. 問題の内容

$\frac{\log x}{x^2}$を積分します。

2. 解き方の手順

部分積分を使用します。$u = \log x$, $dv = \frac{1}{x^2} dx$とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = -\frac{1}{x}$なので、

$$\int \frac{\log x}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \int -\frac{1}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C$$

したがって、

$$\int \frac{\log x}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C = -\frac{\log x + 1}{x} + C$$

3. 最終的な答え

$\int \frac{\log x}{x^2} dx = -\frac{\log x + 1}{x} + C$

**(9) $x\log(x^2+3)$**

1. 問題の内容

$x\log(x^2+3)$を積分します。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。$u = x^2+3$と置くと、$du=2xdx$となるので、$xdx = \frac{1}{2}du$

$\int x\log(x^2+3)dx = \frac{1}{2}\int \log(u)du$

次に部分積分を行います。$v = \log u, dw = du$とおくと、$dv = \frac{1}{u}du, w=u$ となるので、

$\int \log(u)du = u\log u - \int \frac{u}{u} du = u\log u - \int du = u\log u - u +C_1$

よって、

$\frac{1}{2}\int \log(u)du = \frac{1}{2}(u\log u - u) + C = \frac{1}{2}(x^2+3)\log(x^2+3) - \frac{1}{2}(x^2+3) +C$

$\int x\log(x^2+3)dx = \frac{1}{2}(x^2+3)\log(x^2+3) - \frac{1}{2}x^2 + C$

3. 最終的な答え

$\int x\log(x^2+3)dx = \frac{1}{2}(x^2+3)\log(x^2+3) - \frac{1}{2}x^2 + C$

**(10) $\log(x^2+1)$**

1. 問題の内容

$\log(x^2+1)$を積分します。

2. 解き方の手順

部分積分を使用します。

$\int \log(x^2+1)dx = \int 1 \cdot \log(x^2+1)dx$

$u = \log(x^2+1)$, $dv = 1 dx$とすると、$du = \frac{2x}{x^2+1} dx$, $v = x$なので、

$\int \log(x^2+1)dx = x \log(x^2+1) - \int \frac{2x^2}{x^2+1}dx = x \log(x^2+1) - 2\int \frac{x^2}{x^2+1}dx$

$\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{x^2+1-1}{x^2+1} = 1 - \frac{1}{x^2+1}$

よって、$\int \frac{x^2}{x^2+1} dx = \int 1 - \frac{1}{x^2+1} dx = x - \arctan x + C_1$

$\int \log(x^2+1)dx = x \log(x^2+1) - 2(x - \arctan x) + C = x \log(x^2+1) - 2x + 2\arctan x + C$

3. 最終的な答え

$\int \log(x^2+1)dx = x \log(x^2+1) - 2x + 2\arctan x + C$

**(11) $x\sin x$**

1. 問題の内容

$x\sin x$を積分します。

2. 解き方の手順

部分積分を使用します。$u = x$, $dv = \sin x dx$とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$なので、

$$\int x\sin x dx = -x\cos x - \int -\cos x dx = -x\cos x + \int \cos x dx = -x\cos x + \sin x + C$$

3. 最終的な答え

$\int x\sin x dx = -x\cos x + \sin x + C$

**(12) $x\sin 2x$**

1. 問題の内容

$x\sin 2x$を積分します。

2. 解き方の手順

部分積分を使用します。$u = x$, $dv = \sin 2x dx$とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{2}\cos 2x$なので、

$$\int x\sin 2x dx = -\frac{1}{2}x\cos 2x - \int -\frac{1}{2}\cos 2x dx = -\frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}\int \cos 2x dx = -\frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sin 2x) + C$$

したがって、

$$\int x\sin 2x dx = -\frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$$

3. 最終的な答え

$\int x\sin 2x dx = -\frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$

**(13) $x\cos 3x$**

1. 問題の内容

$x\cos 3x$を積分します。

2. 解き方の手順

部分積分を使用します。$u = x$, $dv = \cos 3x dx$とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{3}\sin 3x$なので、

$$\int x\cos 3x dx = \frac{1}{3}x\sin 3x - \int \frac{1}{3}\sin 3x dx = \frac{1}{3}x\sin 3x - \frac{1}{3}\int \sin 3x dx = \frac{1}{3}x\sin 3x - \frac{1}{3}(-\frac{1}{3}\cos 3x) + C$$

したがって、

$$\int x\cos 3x dx = \frac{1}{3}x\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + C$$

3. 最終的な答え

$\int x\cos 3x dx = \frac{1}{3}x\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + C$

**(14) $x\sec^2 x$**

1. 問題の内容

$x\sec^2 x$を積分します。

2. 解き方の手順

部分積分を使用します。$u = x$, $dv = \sec^2 x dx$とすると、$du = dx$, $v = \tan x$なので、

$$\int x\sec^2 x dx = x\tan x - \int \tan x dx$$

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$.

$t = \cos x$と置くと、$dt = -\sin x dx$

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\int \frac{1}{t} dt = -\log |t| = -\log |\cos x| + C_1$

したがって、

$$\int x\sec^2 x dx = x\tan x - (-\log |\cos x|) + C = x\tan x + \log |\cos x| + C$$

3. 最終的な答え

$\int x\sec^2 x dx = x\tan x + \log |\cos x| + C$

**(15) $x^2\sin x$**

1. 問題の内容

$x^2\sin x$を積分します。

2. 解き方の手順

部分積分を2回使用します。部分積分の公式は$\int u dv = uv - \int v du$です。

$u = x^2$, $dv = \sin x dx$とすると、$du = 2x dx$, $v = -\cos x$なので、

$$\int x^2\sin x dx = -x^2\cos x - \int -2x\cos x dx = -x^2\cos x + 2\int x\cos x dx$$

次に、$\int x\cos x dx$を計算します。$u = x$, $dv = \cos x dx$とすると、$du = dx$, $v = \sin x$なので、

$$\int x\cos x dx = x\sin x - \int \sin x dx = x\sin x - (-\cos x) + C_1 = x\sin x + \cos x + C_1$$

したがって、

$$\int x^2\sin x dx = -x^2\cos x + 2(x\sin x + \cos x) + C = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$$

3. 最終的な答え

$\int x^2\sin x dx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$

**(16) $\sin^3 x$**

1. 問題の内容

$\sin^3 x$ を積分します。

2. 解き方の手順

$\sin^3 x = \sin^2 x \sin x = (1 - \cos^2 x) \sin x$ と変形し、置換積分を行います。

$u = \cos x$ と置くと、$du = -\sin x dx$ となります。

したがって、

$$\int \sin^3 x dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x dx = \int (1 - u^2) (-du) = \int (u^2 - 1) du = \frac{u^3}{3} - u + C = \frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C$$

3. 最終的な答え

$\int \sin^3 x dx = \frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C$

**(17) $\cos^4 x$**

1. 問題の内容

$\cos^4 x$ を積分します。

2. 解き方の手順

$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = (\frac{1 + \cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4} (1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)$

$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$

$\cos^4 x = \frac{1}{4} (1 + 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}) = \frac{1}{4} (1 + 2\cos 2x + \frac{1}{2} + \frac{\cos 4x}{2}) = \frac{1}{4} (\frac{3}{2} + 2\cos 2x + \frac{\cos 4x}{2})$

$\cos^4 x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x$

$\int \cos^4 x dx = \int (\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x) dx = \frac{3}{8} x + \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$

3. 最終的な答え

$\int \cos^4 x dx = \frac{3}{8} x + \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$

**(18) $\sin^4 x \cos^3 x$**

1. 問題の内容

$\sin^4 x \cos^3 x$を積分します。

2. 解き方の手順

$\cos^3 x = \cos^2 x \cos x = (1 - \sin^2 x) \cos x$

よって$\sin^4 x \cos^3 x = \sin^4 x (1 - \sin^2 x) \cos x = (\sin^4 x - \sin^6 x)\cos x$

$u = \sin x$とすると$du = \cos x dx$なので、

$\int \sin^4 x \cos^3 x dx = \int (u^4 - u^6) du = \frac{u^5}{5} - \frac{u^7}{7} + C = \frac{\sin^5 x}{5} - \frac{\sin^7 x}{7} + C$

3. 最終的な答え

$\int \sin^4 x \cos^3 x dx = \frac{\sin^5 x}{5} - \frac{\sin^7 x}{7} + C$

**(19) $\tan x$**

1. 問題の内容

$\tan x$を積分します。

2. 解き方の手順

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

$u = \cos x$とおくと$du = -\sin x dx$となるので、

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\int \frac{1}{u} du = -\log |u| + C = -\log |\cos x| + C = \log |\sec x| + C$

3. 最終的な答え

$\int \tan x dx = -\log |\cos x| + C = \log |\sec x| + C$

**(20) $\cot x$**

1. 問題の内容

$\cot x$を積分します。

2. 解き方の手順

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

$u = \sin x$とおくと$du = \cos x dx$となるので、

$\int \cot x dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\sin x| + C$

3. 最終的な答え

$\int \cot x dx = \log |\sin x| + C$

**(21) $\frac{1}{1-\cos x}$**

1. 問題の内容

$\frac{1}{1-\cos x}$を積分します。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{1-\cos x} = \frac{1}{1-\cos x} \cdot \frac{1+\cos x}{1+\cos x} = \frac{1+\cos x}{1-\cos^2 x} = \frac{1+\cos x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} = \csc^2 x + \cot x \csc x$

$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C_1$

$\int \cot x \csc x dx = -\csc x + C_2$

$\int \frac{1}{1-\cos x} dx = \int (\csc^2 x + \cot x \csc x) dx = -\cot x - \csc x + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{1-\cos x} dx = -\cot x - \csc x + C$

**(22) $\frac{1}{\sin x}$**

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sin x}$を積分します。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\sin x} = \csc x = \frac{\csc x (\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} = \frac{\csc^2 x - \csc x \cot x}{\csc x - \cot x}$

$u = \csc x - \cot x$とおくと$du = (-\csc x \cot x + \csc^2 x) dx = (\csc^2 x - \csc x \cot x) dx$なので、

$\int \frac{1}{\sin x} dx = \int \csc x dx = \int \frac{\csc^2 x - \csc x \cot x}{\csc x - \cot x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\csc x - \cot x| + C$

または、

$\int \csc x dx = \int \frac{1}{\sin x}dx = \int \frac{1}{2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})}dx = \int \frac{1}{2\tan(\frac{x}{2})\cos^2(\frac{x}{2})}dx = \int \frac{1+\tan^2(\frac{x}{2})}{2\tan(\frac{x}{2})}dx = \int \frac{1}{2t(1+t^2)^{-1}} \frac{2}{1+t^2} dt$

$t = \tan(\frac{x}{2})$ とすると $dt = \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx$

$\int \frac{1}{t} dt = \log|t| + C = \log |\tan(\frac{x}{2})| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{\sin x} dx = \log |\csc x - \cot x| + C = \log |\tan(\frac{x}{2})| + C$

**(23) $\arctan x$**

1. 問題の内容

$\arctan x$を積分します。

2. 解き方の手順

部分積分を使用します。$u = \arctan x$, $dv = dx$とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$なので、

$$\int \arctan x dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} dx$$

$u = 1+x^2$とすると、$du = 2x dx$なので、$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2}\log|u| + C_1 = \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C_1$

$$\int \arctan x dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$$

3. 最終的な答え

$\int \arctan x dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$

**(24) $x\arctan x$**

1. 問題の内容

$x\arctan x$を積分します。

2. 解き方の手順

部分積分を使用します。$u = \arctan x$, $dv = x dx$とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$なので、

$$\int x\arctan x dx = \frac{1}{2}x^2\arctan x - \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx = \frac{1}{2}x^2\arctan x - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2} dx$$

$\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int \frac{1+x^2-1}{1+x^2} dx = \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx = x - \arctan x + C_1$

$$\int x\arctan x dx = \frac{1}{2}x^2\arctan x - \frac{1}{2}(x - \arctan x) + C = \frac{1}{2}x^2\arctan x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\arctan x + C$$

$$\int x\arctan x dx = \frac{1}{2}(x^2+1)\arctan x - \frac{1}{2}x + C$$

3. 最終的な答え

$\int x\arctan x dx = \frac{1}{2}(x^2+1)\arctan x - \frac{1}{2}x + C$

**(25) $\sin 5x \cos x$**

1. 問題の内容

$\sin 5x \cos x$を積分します。

2. 解き方の手順

積和の公式を使用します。$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

$\sin 5x \cos x = \frac{1}{2}[\sin(5x+x) + \sin(5x-x)] = \frac{1}{2}[\sin 6x + \sin 4x]$

$$\int \sin 5x \cos x dx = \frac{1}{2}\int (\sin 6x + \sin 4x) dx = \frac{1}{2}(-\frac{1}{6}\cos 6x - \frac{1}{4}\cos 4x) + C$$

$$\int \sin 5x \cos x dx = -\frac{1}{12}\cos 6x - \frac{1}{8}\cos 4x + C$$

3. 最終的な答え

$\int \sin 5x \cos x dx = -\frac{1}{12}\cos 6x - \frac{1}{8}\cos 4x + C$

**(26) $\sinh\frac{x}{a}$**

1. 問題の内容

$\sinh\frac{x}{a}$を積分します。

2. 解き方の手順

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$であることを利用します。

$\int \sinh\frac{x}{a} dx = \int \frac{e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}}}{2} dx = \frac{1}{2} \int (e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}}) dx = \frac{1}{2}(a e^{\frac{x}{a}} - (-a) e^{-\frac{x}{a}}) + C$

$\int \sinh\frac{x}{a} dx = \frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}}) + C = a \cosh \frac{x}{a} + C$

3. 最終的な答え

$\int \sinh\frac{x}{a} dx = a \cosh \frac{x}{a} + C$

**(27) $\cosh\frac{x}{a}$**

1. 問題の内容

$\cosh\frac{x}{a}$を積分します。

2. 解き方の手順

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$であることを利用します。

$\int \cosh\frac{x}{a} dx = \int \frac{e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}}}{2} dx = \frac{1}{2} \int (e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}}) dx = \frac{1}{2}(a e^{\frac{x}{a}} + (-a) e^{-\frac{x}{a}}) + C$

$\int \cosh\frac{x}{a} dx = \frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}}) + C = a \sinh \frac{x}{a} + C$

3. 最終的な答え

$\int \cosh\frac{x}{a} dx = a \sinh \frac{x}{a} + C$