次の3つの積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} dx$ (3) $\int \sin 2x \sin 3x dx$

1. 問題の内容

次の3つの積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} dx$

(3) $\int \sin 2x \sin 3x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx$

まず、$(\sqrt{x}+1)^2$ を展開します。

$(\sqrt{x}+1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1$

したがって、

$\int_{1}^{4} \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{x} dx = \int_{1}^{4} (1 + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}) dx$

$= [x + 4\sqrt{x} + \ln|x|]_{1}^{4}$

$= (4 + 4\sqrt{4} + \ln 4) - (1 + 4\sqrt{1} + \ln 1)$

$= (4 + 8 + \ln 4) - (1 + 4 + 0)$

$= 12 + \ln 4 - 5 = 7 + \ln 4 = 7 + 2\ln 2$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} dx$

$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$ であることを利用します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos x) dx$

$= \frac{1}{2} [x + \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2}) - (0 + \sin 0)]$

$= \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} + 1 - 0)$

$= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

(3) $\int \sin 2x \sin 3x dx$

積和の公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ を利用します。

$\int \sin 2x \sin 3x dx = \int \frac{1}{2} [\cos(2x-3x) - \cos(2x+3x)] dx$

$= \frac{1}{2} \int (\cos(-x) - \cos(5x)) dx$

$= \frac{1}{2} \int (\cos x - \cos 5x) dx$

$= \frac{1}{2} (\sin x - \frac{1}{5} \sin 5x) + C$

$= \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{10} \sin 5x + C$

3. 最終的な答え

(1) $7 + 2\ln 2$

(2) $\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

(3) $\frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{10} \sin 5x + C$