定積分 $\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx$ を求めます。

## 問題の解答

### 27.(1)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} = \frac{x+2\sqrt{x}+1}{x} = 1 + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}$

よって、

$\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx = \int_{1}^{4} (1 + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}) dx$

各項を積分します。

$\int 1 dx = x$

$\int \frac{2}{\sqrt{x}} dx = 4\sqrt{x}$

$\int \frac{1}{x} dx = \log x$

したがって、

$\int_{1}^{4} (1 + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}) dx = [x + 4\sqrt{x} + \log x]_{1}^{4}$

積分範囲の端点を代入します。

$(4 + 4\sqrt{4} + \log 4) - (1 + 4\sqrt{1} + \log 1) = (4 + 8 + \log 4) - (1 + 4 + 0) = 12 + \log 4 - 5 = 7 + \log 4 = 7 + 2\log 2$

3. 最終的な答え

$7 + 2\log 2$

### 27.(2)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

半角の公式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を用います。

$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos x) dx$

各項を積分します。

$\int 1 dx = x$

$\int \cos x dx = \sin x$

したがって、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos x) dx = \frac{1}{2} [x + \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

積分範囲の端点を代入します。

$\frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2}) - (0 + \sin 0)] = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} + 1) - (0 + 0)] = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} + 1) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

### 27.(3)

1. 問題の内容

不定積分 $\int \sin 2x \sin 3x dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

積和の公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ を用います。

$\sin 2x \sin 3x = \frac{1}{2} [\cos(2x-3x) - \cos(2x+3x)] = \frac{1}{2} [\cos(-x) - \cos(5x)] = \frac{1}{2} [\cos x - \cos 5x]$

したがって、

$\int \sin 2x \sin 3x dx = \int \frac{1}{2} (\cos x - \cos 5x) dx = \frac{1}{2} \int (\cos x - \cos 5x) dx$

各項を積分します。

$\int \cos x dx = \sin x$

$\int \cos 5x dx = \frac{1}{5} \sin 5x$

したがって、

$\frac{1}{2} \int (\cos x - \cos 5x) dx = \frac{1}{2} (\sin x - \frac{1}{5} \sin 5x) + C = \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{10} \sin 5x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{10} \sin 5x + C$ (Cは積分定数)

### 28.(1)

1. 問題の内容

不定積分 $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

$x=1$のとき、$u=\log 1=0$

$x=e$のとき、$u=\log e=1$

したがって、

$\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx = \int_{0}^{1} u du = [\frac{1}{2} u^2]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (1^2 - 0^2) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$

### 28.(2)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} x\sqrt{x-1} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

$u = x-1$ と置換すると、$x = u+1$、$dx = du$ となります。

$x=1$のとき、$u=0$

$x=2$のとき、$u=1$

$\int_{1}^{2} x\sqrt{x-1} dx = \int_{0}^{1} (u+1)\sqrt{u} du = \int_{0}^{1} (u^{3/2} + u^{1/2}) du$

$\int u^{3/2} du = \frac{2}{5} u^{5/2}$

$\int u^{1/2} du = \frac{2}{3} u^{3/2}$

$\int_{0}^{1} (u^{3/2} + u^{1/2}) du = [\frac{2}{5} u^{5/2} + \frac{2}{3} u^{3/2}]_{0}^{1} = (\frac{2}{5} + \frac{2}{3}) - (0+0) = \frac{6+10}{15} = \frac{16}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{15}$

### 28.(3)

1. 問題の内容

不定積分 $\int \sin^3 x dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\sin^3 x = \sin^2 x \sin x = (1-\cos^2 x) \sin x$

したがって、

$\int \sin^3 x dx = \int (1-\cos^2 x) \sin x dx$

$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。

$\int (1-u^2) (-du) = \int (u^2 - 1) du = \frac{1}{3} u^3 - u + C = \frac{1}{3} \cos^3 x - \cos x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \cos^3 x - \cos x + C$ (Cは積分定数)

### 29.(1)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{1}{x^2+5} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$ を用います。

$\int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{1}{x^2+5} dx = [\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan \frac{x}{\sqrt{5}}]_{0}^{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} (\arctan \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \arctan 0) = \frac{1}{\sqrt{5}} (\arctan 1 - 0) = \frac{1}{\sqrt{5}} \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4\sqrt{5}}$

### 29.(2)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{16-x^2}} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C$ を用います。

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{16-x^2}} dx = [\arcsin \frac{x}{4}]_{0}^{2} = \arcsin \frac{2}{4} - \arcsin 0 = \arcsin \frac{1}{2} - 0 = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$

### 30.(1)

1. 問題の内容

不定積分 $\int x e^{-2x} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

部分積分法を用います。

$\int u v' dx = u v - \int u' v dx$

$u = x$, $v' = e^{-2x}$ とすると、$u' = 1$, $v = -\frac{1}{2} e^{-2x}$

$\int x e^{-2x} dx = x (-\frac{1}{2} e^{-2x}) - \int 1 (-\frac{1}{2} e^{-2x}) dx = -\frac{1}{2} xe^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} xe^{-2x} + \frac{1}{2} (-\frac{1}{2} e^{-2x}) + C = -\frac{1}{2} xe^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} xe^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} + C$ (Cは積分定数)

### 30.(2)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$

部分積分法を用います。

$\int u v' dx = u v - \int u' v dx$

$u = x$, $v' = \frac{1}{\cos^2 x}$ とすると、$u' = 1$, $v = \tan x$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx = [x \tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \tan x dx = (\frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{4} - 0 \tan 0) - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = (\frac{\pi}{4} \cdot 1 - 0) - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} dx$

$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx$ で、$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$

$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \frac{-du}{u} = -\log |u| + C = -\log |\cos x| + C$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx = \frac{\pi}{4} - [-\log |\cos x|]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} + [\log |\cos x|]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} + (\log |\cos \frac{\pi}{4}| - \log |\cos 0|) = \frac{\pi}{4} + (\log \frac{1}{\sqrt{2}} - \log 1) = \frac{\pi}{4} + \log 2^{-1/2} - 0 = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$

### 31.(1)

1. 問題の内容

不定積分 $\int x^2 e^{-x} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

部分積分を2回行います。

$\int x^2 e^{-x} dx$

$u = x^2$, $v' = e^{-x}$ とすると、$u' = 2x$, $v = -e^{-x}$

$\int x^2 e^{-x} dx = x^2 (-e^{-x}) - \int 2x (-e^{-x}) dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx$

次に、$\int x e^{-x} dx$ を計算します。

$u = x$, $v' = e^{-x}$ とすると、$u' = 1$, $v = -e^{-x}$

$\int x e^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int 1 (-e^{-x}) dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

よって、

$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2 (-xe^{-x} - e^{-x}) + C = -x^2 e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} + C = -e^{-x} (x^2 + 2x + 2) + C$

3. 最終的な答え

$-e^{-x} (x^2 + 2x + 2) + C$ (Cは積分定数)

### 31.(2)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} x^2 \sin x dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

部分積分を2回行います。

$I = \int_{0}^{\pi} x^2 \sin x dx$

$u = x^2$, $v' = \sin x$ とすると、$u' = 2x$, $v = -\cos x$

$I = [x^2 (-\cos x)]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} 2x (-\cos x) dx = [-\pi^2 \cos \pi - 0] + 2 \int_{0}^{\pi} x \cos x dx = \pi^2 + 2 \int_{0}^{\pi} x \cos x dx$

次に、$\int_{0}^{\pi} x \cos x dx$ を計算します。

$u = x$, $v' = \cos x$ とすると、$u' = 1$, $v = \sin x$

$\int_{0}^{\pi} x \cos x dx = [x \sin x]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} 1 \sin x dx = [\pi \sin \pi - 0] - [-\cos x]_{0}^{\pi} = 0 + [\cos x]_{0}^{\pi} = \cos \pi - \cos 0 = -1 - 1 = -2$

したがって、

$I = \pi^2 + 2 (-2) = \pi^2 - 4$

3. 最終的な答え

$\pi^2 - 4$