関数 $f(x) = x\sin x$ について、$f'(x)$ が区間 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ で減少し、$f(x)$ が区間 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ で極大値をとることを示す問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x\sin x$ について、$f'(x)$ が区間 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ で減少し、$f(x)$ が区間 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ で極大値をとることを示す問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$ を計算します。

(2) $f''(x)$ を計算します。

(3) $x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ において、$f''(x) < 0$ を示します。これは、$f'(x)$ が減少関数であることを意味します。

(4) $f'(\frac{\pi}{2})$ および $f'(\pi)$ を計算し、区間 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ 内に $f'(x) = 0$ となる点が存在することを示します。

(5) $f'(x) = 0$ となる点を $\alpha$ とすると、$x \in (\frac{\pi}{2}, \alpha)$ では $f'(x) > 0$、$x \in (\alpha, \pi)$ では $f'(x) < 0$ となることを確認し、$f(x)$ が $x = \alpha$ で極大値をとることを示します。

(1) $f(x) = x\sin x$ より、積の微分公式を用いて、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = (x)' \sin x + x (\sin x)' = \sin x + x \cos x$

(2) $f'(x) = \sin x + x \cos x$ より、$f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = (\sin x)' + (x \cos x)' = \cos x + (x)' \cos x + x (\cos x)' = \cos x + \cos x - x \sin x = 2\cos x - x \sin x$

(3) $x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ のとき、$\cos x < 0$ であり、$\sin x > 0$ です。また、$x > 0$ なので、$x \sin x > 0$ です。したがって、

$f''(x) = 2\cos x - x\sin x < 0$ となります。よって、$f'(x)$ は区間 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ で減少します。

(4) $f'(\frac{\pi}{2}) = \sin \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} = 1 > 0$

$f'(\pi) = \sin \pi + \pi \cos \pi = -\pi < 0$

$f'(x)$ は連続関数であり、区間 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ で減少することから、中間値の定理より、区間 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ に $f'(x) = 0$ となる点 $\alpha$ が少なくとも1つ存在します。

(5) $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ を $f'(\alpha) = 0$ となる点とします。$f'(x)$ は減少関数なので、$x \in (\frac{\pi}{2}, \alpha)$ では $f'(x) > 0$、$x \in (\alpha, \pi)$ では $f'(x) < 0$ となります。したがって、$f(x)$ は $x = \alpha$ で極大値をとります。

3. 最終的な答え

$f(x) = x\sin x$ は、区間 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ で極大値をとる。