(2) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ において、$f(\theta) = g(\theta)$を満たす $\theta$ の値を $\alpha$ とする。$X = \cos \alpha$, $Y = \sin \alpha$ とおくと、 $X = \frac{\sqrt{\text{カ}}}{\text{キ}}$, $X^2 + Y^2 = \text{ク}$ が成り立つ。 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $Y > 0$ であるから、$Y = \frac{\text{コサ}}{\text{シス}}$ である。 したがって、$\tan \alpha = \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}$ である。 さらに、$\tan 2\alpha$ の値を考えると、次の解答群の選択肢①〜⑤の中で、$\alpha$ に最も近い値は $\text{タ}$ である。 (3) $0 \leq \theta < 2\pi$ において、$f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値は2つある。1つは $\alpha$ で、もう一つの解を $\beta$ とおく。このとき、座標平面において、$X = \frac{\sqrt{\text{キ}}}{\text{カ}}$, $Y = - \frac{\text{Y}}{\text{ク}}$, $X^2 + Y^2 = \text{ケ}$ の交点を考えることで、$\tan \frac{\alpha + \beta}{2} = \text{ツ}$ であることがわかる。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題のうち、右側の(2)と(3)を解きます。

1. 問題の内容

(2) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ において、$f(\theta) = g(\theta)$を満たす $\theta$ の値を $\alpha$ とする。$X = \cos \alpha$, $Y = \sin \alpha$ とおくと、

$X = \frac{\sqrt{\text{カ}}}{\text{キ}}$, $X^2 + Y^2 = \text{ク}$ が成り立つ。

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $Y > 0$ であるから、$Y = \frac{\text{コサ}}{\text{シス}}$ である。

したがって、$\tan \alpha = \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}$ である。

さらに、$\tan 2\alpha$ の値を考えると、次の解答群の選択肢①〜⑤の中で、$\alpha$ に最も近い値は $\text{タ}$ である。

(3) $0 \leq \theta < 2\pi$ において、$f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値は2つある。1つは $\alpha$ で、もう一つの解を $\beta$ とおく。このとき、座標平面において、$X = \frac{\sqrt{\text{キ}}}{\text{カ}}$, $Y = - \frac{\text{Y}}{\text{ク}}$, $X^2 + Y^2 = \text{ケ}$ の交点を考えることで、$\tan \frac{\alpha + \beta}{2} = \text{ツ}$ であることがわかる。

2. 解き方の手順

(2)

まず、$f(\theta) = g(\theta)$ を計算します。

$2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin \theta = \sin \theta - \cos \theta - 1$

$2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 2 \sin \theta - \cos \theta - 1$

$X = \cos \alpha$, $Y = \sin \alpha$ とおくと、$\theta = \alpha$ のとき、上の式は

$2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2 \sin \alpha + \cos \alpha + 1 = 0$

$\cos \alpha + 1 - 2 \sin \alpha + \cos \alpha + 1 = 0$

$2 \cos \alpha - 2 \sin \alpha + 2 = 0$

$\cos \alpha - \sin \alpha + 1 = 0$

$\cos \alpha + 1 = \sin \alpha$

両辺を2乗すると、

$(\cos \alpha + 1)^2 = \sin^2 \alpha$

$\cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 1 = 1 - \cos^2 \alpha$

$2 \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha = 0$

$2 \cos \alpha (\cos \alpha + 1) = 0$

$\cos \alpha = 0$ または $\cos \alpha = -1$

$\cos \alpha = 0$のとき、$\sin \alpha = 1$。$\alpha = \frac{\pi}{2}$

$\cos \alpha = -1$のとき、$\sin \alpha = 0$。$\alpha = \pi$

$\theta < \pi/2$なので $\alpha=\pi/2$

$\cos \alpha = 0$, $\sin \alpha = 1$

$X = \cos \alpha = 0$, $Y = \sin \alpha = 1$

問題文に戻って、

$0 = \sqrt{\text{カ}}/{\text{キ}}$, よってカ=0, キ=1

$X^2+Y^2 = 0^2 + 1^2 = 1$

$Y = 1$, よりコサ=1, シス=1

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{0}$ これは定義できない

$\cos \alpha + 1 = \sin \alpha$を忘れていました。

cos α + 1 = sin αを整理すると、

$(\cos \alpha)^2 - (\sin \alpha)^2 + 2 \cos \alpha + 1 = 0$

$\text{コサ} = 0$,$\text{シス} = 1$

$X = 0, Y = 1$

$\tan \alpha = Y/X$, つまり $\alpha = \frac{\pi}{2}$

$\cos \alpha - \sin \alpha + 1 = 0$は$\alpha = \pi/2$のとき成り立つ。

したがって、tan α = Y/X は不定。

問題文をよく見るとcos α = sin α - 1

(sin α)/ cos α = 1 / (sin α - 1)

問題に戻ると$\alpha = \pi/2$

次に tan 2α を考えると α = π/2　　なので tan π = 0

tan 2αの値を考えると、選択肢の中で 0 に一番近いのは1/

8.

(3)

座標平面において、$X = \frac{\sqrt{\text{キ}}}{\text{カ}}$, $Y = - \frac{\text{Y}}{\text{ク}}$ の交点を考える。$X = 0$から，$X = \frac{\sqrt{1}}{0}$

また、$X^2+Y^2=1$

3. 最終的な答え

(2) カ=0, キ=1, ク=1, コサ=1, シス=1, セ=定義できない, ソ=定義できない, タ=1/8

(3) ツ= -1