$xy$ 平面において、曲線 $y = \cos 2x (-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4})$ 上に定点 $A(0,1)$ がある。$A$ と異なる動点 $P$ をとり、$2$ 点 $A, P$ を通り $y$ 軸上に中心を持つ円の半径を $r$ とする。$P$ が曲線上を限りなく $A$ に近づくとき、$r$ の極限値を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$ 平面において、曲線 $y = \cos 2x (-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4})$ 上に定点 $A(0,1)$ がある。$A$ と異なる動点 $P$ をとり、$2$ 点 $A, P$ を通り $y$ 軸上に中心を持つ円の半径を $r$ とする。$P$ が曲線上を限りなく $A$ に近づくとき、$r$ の極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, \cos 2x)$ とする。円の中心を $(0, k)$ とすると、

円の方程式は $x^2 + (y - k)^2 = r^2$ となる。

この円は $A(0, 1)$ と $P(x, \cos 2x)$ を通るので、

$0^2 + (1 - k)^2 = r^2$

$x^2 + (\cos 2x - k)^2 = r^2$

が成り立つ。

したがって、

$(1-k)^2 = x^2 + (\cos 2x - k)^2$

$1 - 2k + k^2 = x^2 + \cos^2 2x - 2k \cos 2x + k^2$

$1 - 2k = x^2 + \cos^2 2x - 2k \cos 2x$

$2k(\cos 2x - 1) = x^2 + \cos^2 2x - 1$

$2k(\cos 2x - 1) = x^2 - \sin^2 2x$

$2k = \frac{x^2 - \sin^2 2x}{\cos 2x - 1}$

$k = \frac{x^2 - \sin^2 2x}{2(\cos 2x - 1)}$

ここで、$r^2 = (1-k)^2$ より、$r = |1 - k|$ を得る。

$r = \left| 1 - \frac{x^2 - \sin^2 2x}{2(\cos 2x - 1)} \right| = \left| \frac{2(\cos 2x - 1) - x^2 + \sin^2 2x}{2(\cos 2x - 1)} \right|$

求める極限は、

$\lim_{x \to 0} \left| \frac{2(\cos 2x - 1) - x^2 + \sin^2 2x}{2(\cos 2x - 1)} \right|$

ここで、$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \dots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + \dots$

$\sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} + \dots = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15} x^5 + \dots$

$\sin^2 2x = (2x - \frac{4}{3}x^3 + \dots)^2 = 4x^2 - \frac{16}{3}x^4 + \dots$

$\lim_{x \to 0} \left| \frac{2(1 - 2x^2 - 1) - x^2 + 4x^2}{2(1 - 2x^2 - 1)} \right| = \lim_{x \to 0} \left| \frac{-4x^2 - x^2 + 4x^2}{-4x^2} \right| = \lim_{x \to 0} \left| \frac{-x^2}{-4x^2} \right| = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$