問題は三角関数に関するもので、以下の3つの小問から構成されています。 (1) $f(\theta) = 2\cos^2\theta - 2\sin\theta$ を変形し、$f(\frac{\pi}{6})$ の値を求めます。 (2) $0 < \theta < \pi$ において、$f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値を $\alpha$ とし、$X = \cos\alpha$, $Y = \sin\alpha$ とおいて、関係式を導き、$\tan\alpha$ の値を求めます。さらに、$\tan2\alpha$ の値に最も近いものを選択肢から選びます。 (3) $0 \leq \theta < 2\pi$ において、$f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値を2つ求め、それらの和を求めます。
2025/7/23
1. 問題の内容
問題は三角関数に関するもので、以下の3つの小問から構成されています。
(1) を変形し、 の値を求めます。
(2) において、 を満たす の値を とし、, とおいて、関係式を導き、 の値を求めます。さらに、 の値に最も近いものを選択肢から選びます。
(3) において、 を満たす の値を2つ求め、それらの和を求めます。
2. 解き方の手順
(1)
なので、 となります。
(2)
より、
を用いると、
に代入して、
これは解くのが難しいので、 に注目して、 から両辺を2乗して
このうち、 を満たすのは、 のみです。
なので、,
は定義されないので、計算ミスをしている。
これを用いて、に代入すると
のとき 。
,
なので は存在しない。
しかし, より という条件から、 とできる。 より、なので、計算が複雑である。
となるのは . とおくと、, より
より または つまり 。
ならば . ならば .
よって , より は存在しない。
は選択肢(9)に近い値。
(3)
のとき、.
3. 最終的な答え
(1) ア: , イ:
(2) ウ: 0, エ: , オ:
(3) キ: