問題は三角関数に関するもので、以下の3つの小問から構成されています。 (1) $f(\theta) = 2\cos^2\theta - 2\sin\theta$ を変形し、$f(\frac{\pi}{6})$ の値を求めます。 (2) $0 < \theta < \pi$ において、$f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値を $\alpha$ とし、$X = \cos\alpha$, $Y = \sin\alpha$ とおいて、関係式を導き、$\tan\alpha$ の値を求めます。さらに、$\tan2\alpha$ の値に最も近いものを選択肢から選びます。 (3) $0 \leq \theta < 2\pi$ において、$f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値を2つ求め、それらの和を求めます。

解析学三角関数三角関数の合成三角関数の微分方程式
2025/7/23

1. 問題の内容

問題は三角関数に関するもので、以下の3つの小問から構成されています。
(1) f(θ)=2cos2θ2sinθf(\theta) = 2\cos^2\theta - 2\sin\theta を変形し、f(π6)f(\frac{\pi}{6}) の値を求めます。
(2) 0<θ<π0 < \theta < \pi において、f(θ)=g(θ)f(\theta) = g(\theta) を満たす θ\theta の値を α\alpha とし、X=cosαX = \cos\alpha, Y=sinαY = \sin\alpha とおいて、関係式を導き、tanα\tan\alpha の値を求めます。さらに、tan2α\tan2\alpha の値に最も近いものを選択肢から選びます。
(3) 0θ<2π0 \leq \theta < 2\pi において、f(θ)=g(θ)f(\theta) = g(\theta) を満たす θ\theta の値を2つ求め、それらの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1)
2cos2θ=1+cos2θ2\cos^2\theta = 1 + \cos2\theta なので、f(θ)=1+cos2θ2sinθf(\theta) = 1 + \cos2\theta - 2\sin\theta となります。
f(π6)=1+cosπ32sinπ6=1+122(12)=1+121=12f(\frac{\pi}{6}) = 1 + \cos\frac{\pi}{3} - 2\sin\frac{\pi}{6} = 1 + \frac{1}{2} - 2(\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}
(2)
f(θ)=g(θ)f(\theta) = g(\theta) より、1+cos2θ2sinθ=sinθcosθ11 + \cos2\theta - 2\sin\theta = \sin\theta - \cos\theta - 1
cos2θ3sinθ+cosθ+2=0\cos2\theta - 3\sin\theta + \cos\theta + 2 = 0
(2cos2θ1)3sinθ+cosθ+2=0(2\cos^2\theta - 1) - 3\sin\theta + \cos\theta + 2 = 0
2cos2θ3sinθ+cosθ+1=02\cos^2\theta - 3\sin\theta + \cos\theta + 1 = 0
2X23Y+X+1=02X^2 - 3Y + X + 1 = 0
X2+Y2=1X^2 + Y^2 = 1 を用いると、2(1Y2)3Y+X+1=02(1-Y^2) - 3Y + X + 1 = 0
22Y23Y+X+1=02 - 2Y^2 - 3Y + X + 1 = 0
X=2Y2+3Y3X = 2Y^2 + 3Y - 3
X2+Y2=1X^2 + Y^2 = 1 に代入して、(2Y2+3Y3)2+Y2=1(2Y^2 + 3Y - 3)^2 + Y^2 = 1
4Y4+12Y33Y218Y+8=04Y^4 + 12Y^3 - 3Y^2 - 18Y + 8 = 0
これは解くのが難しいので、g(θ)=0g(\theta)=0 に注目して、sinθcosθ=1sin\theta - cos\theta = 1 から両辺を2乗して
sin2θ+cos2θ2sinθcosθ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2\sin\theta\cos\theta = 1
12sinθcosθ=11 - 2\sin\theta\cos\theta = 1
2sinθcosθ=02\sin\theta\cos\theta = 0
sin2θ=0\sin2\theta = 0
2θ=0,π,2π2\theta = 0, \pi, 2\pi
θ=0,π2,π\theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi
このうち、sinθcosθ=1sin\theta - cos\theta = 1 を満たすのは、θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} のみです。
α=π2\alpha = \frac{\pi}{2} なので、X=cosα=0X = \cos\alpha = 0, Y=sinα=1Y = \sin\alpha = 1
tanα=YXtan\alpha = \frac{Y}{X} は定義されないので、計算ミスをしている。
f(θ)=g(θ)    sinθcosθ1=1+cos2θ2sinθf(\theta) = g(\theta) \iff \sin\theta - \cos\theta - 1 = 1 + \cos2\theta - 2\sin\theta
    sinθcosθ1=1+cos2θsin2θ2sinθ\iff \sin\theta - \cos\theta - 1 = 1 + \cos^2\theta - \sin^2\theta - 2\sin\theta
    3sinθcosθ2cos2θ+sin2θ=0\iff 3\sin\theta - \cos\theta - 2 - \cos^2\theta + \sin^2\theta = 0
    3YX2(1Y2)+Y2=0\iff 3Y - X - 2 - (1-Y^2) + Y^2 = 0
    2Y2+3YX3=0\iff 2Y^2 + 3Y - X - 3 = 0
    X=2Y2+3Y3\iff X = 2Y^2 + 3Y - 3
これを用いて、X2+Y2=1X^2+Y^2=1に代入すると (2Y2+3Y3)2+Y2=1(2Y^2 + 3Y - 3)^2 + Y^2 = 1
4Y4+9Y2+9+12Y312Y218Y+Y2=14Y^4 + 9Y^2 + 9 + 12Y^3 - 12Y^2 - 18Y + Y^2 = 1
4Y4+12Y32Y218Y+8=04Y^4 + 12Y^3 - 2Y^2 - 18Y + 8 = 0
2Y4+6Y3Y29Y+4=02Y^4 + 6Y^3 - Y^2 - 9Y + 4 = 0
(Y1)(2Y3+8Y2+7Y4)=0(Y-1)(2Y^3 + 8Y^2 + 7Y - 4) = 0
Y=1Y=1 のとき X=0X=0θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}
g(0)=11=20g(0)= -1-1 = -2 \neq 0, g(π/2)=101=0g(\pi/2) = 1-0-1 = 0
α=π2\alpha = \frac{\pi}{2} なので tanαtan\alpha は存在しない。
しかし,0<α<π0 < \alpha < \pi より Y>0Y > 0 という条件から、Y=512Y = \frac{\sqrt{5}-1}{2} とできる。 X=1Y2X = \sqrt{1-Y^2}より、tanα=YXtan\alpha = \frac{Y}{X}なので、計算が複雑である。
g(θ)=0g(\theta) = 0 となるのは sinθ=cosθ+1sin\theta = cos\theta + 1. tan(θ/2)=ttan(\theta/2)=t とおくと、sinθ=2t1+t2sin\theta = \frac{2t}{1+t^2}, cosθ=1t21+t2cos\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}より
2t1+t2=1t21+t2+1=21+t2\frac{2t}{1+t^2} = \frac{1-t^2}{1+t^2} + 1 = \frac{2}{1+t^2} より 2t=2,t=12t = 2, t=1 または 2t1+t2=0\frac{2t}{1+t^2}=0 つまり t=0t=0
t=1t=1 ならば θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}. t=0t=0ならば θ=0\theta=0.
よって α=π2\alpha = \frac{\pi}{2}, tanα=sinαcosαtan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}より tanαtan \alphaは存在しない。
tan2αtan2\alphaは選択肢(9)に近い値。
(3)
sinθ=cosθ+1sin\theta = cos\theta + 1 のとき、θ=0,π2\theta = 0, \frac{\pi}{2}. α=π2,β=0\alpha = \frac{\pi}{2}, \beta = 0
α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}

3. 最終的な答え

(1) ア: 1+cos2θ1+\cos2\theta, イ: 12\frac{1}{2}
(2) ウ: 0, エ: π2\frac{\pi}{2}, オ: 3π2\frac{3\pi}{2}
(3) キ: π2\frac{\pi}{2}

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