与えられた定積分 $\int_{1/2}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{1/2}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

を計算する。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の積分は $\arcsin(x)$ (逆正弦関数) であることを利用します。

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) + C$

したがって、定積分は次のように計算できます。

$\int_{1/2}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) \Big|_{1/2}^{1} = \arcsin(1) - \arcsin(1/2)$

$\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$ であること、$\arcsin(1/2) = \frac{\pi}{6}$ であることを知っています。したがって、

$\arcsin(1) - \arcsin(1/2) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$