以下の極限を求める問題です。 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n! n^n}}$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n! n^n}}$

2. 解き方の手順

まず、求める極限を $L$ とおきます。

$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n! n^n}}$

両辺の自然対数をとると、

$\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log \left( \frac{(2n)!}{n! n^n} \right)$

$\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left[ \log (2n)! - \log n! - n \log n \right]$

スターリングの公式を用いると、大きな $n$ に対して $\log n! \approx n \log n - n$ が成り立ちます。

$\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left[ (2n) \log(2n) - 2n - (n \log n - n) - n \log n \right]$

$\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left[ 2n \log 2 + 2n \log n - 2n - n \log n + n - n \log n \right]$

$\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left[ 2n \log 2 - n \right]$

$\log L = 2 \log 2 - 1$

$\log L = \log 4 - \log e$

$\log L = \log \frac{4}{e}$

したがって、 $L = \frac{4}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{e}$