関数 $y = 2\sin{x}\cos{x} - 4\sin{x} - 4\cos{x}$ の最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin{x}\cos{x} - 4\sin{x} - 4\cos{x}$ の最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sin{x} + \cos{x}$ とおく。このとき、

$$t^2 = (\sin{x} + \cos{x})^2 = \sin^2{x} + 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} = 1 + 2\sin{x}\cos{x}$$

よって、

$$2\sin{x}\cos{x} = t^2 - 1$$

また、

$$y = 2\sin{x}\cos{x} - 4(\sin{x} + \cos{x}) = t^2 - 1 - 4t = t^2 - 4t - 1$$

$y$ を $t$ で表すと、

$$y = t^2 - 4t - 1 = (t - 2)^2 - 5$$

次に、$t$ の取りうる範囲を考える。

$$t = \sin{x} + \cos{x} = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x}\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$

したがって、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ である。

$y$ は $t$ の二次関数であり、$y = (t - 2)^2 - 5$ は下に凸である。

$t$ の範囲は $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ なので、$t = \sqrt{2}$ のとき最大値、$t = -\sqrt{2}$ のとき最小値を取る。

$t = \sqrt{2}$ のとき、

$$y = (\sqrt{2} - 2)^2 - 5 = 2 - 4\sqrt{2} + 4 - 5 = 1 - 4\sqrt{2}$$

このとき、$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$ なので、$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$。

$x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ ($n$ は整数)。

$t = -\sqrt{2}$ のとき、

$$y = (-\sqrt{2} - 2)^2 - 5 = 2 + 4\sqrt{2} + 4 - 5 = 1 + 4\sqrt{2}$$

このとき、$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$ なので、$x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$。

$x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ ($n$ は整数)。

3. 最終的な答え

最大値: $1 + 4\sqrt{2}$ ($x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ のとき、 $n$ は整数)

最小値: $1 - 4\sqrt{2}$ ($x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ のとき、 $n$ は整数)