$n$ を 1 より大きい自然数とする。$x > 0$, $x \neq 1$ に対して、不等式 $\frac{x^n - 1}{n} > x - 1$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

$n$ を 1 より大きい自然数とする。$x > 0$, $x \neq 1$ に対して、不等式 $\frac{x^n - 1}{n} > x - 1$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

$f(x) = \frac{x^n - 1}{n} - (x - 1)$ とおく。このとき、$f(x) > 0$ を示すことが目標となる。

$f'(x) = \frac{nx^{n-1}}{n} - 1 = x^{n-1} - 1$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1$ のときである。

$f'(x)$ の符号について考える。

- $0 < x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$ となる。

- $x > 1$ のとき、$f'(x) > 0$ となる。

したがって、$f(x)$ は $x = 1$ で極小値をとる。

$f(1) = \frac{1^n - 1}{n} - (1 - 1) = \frac{1 - 1}{n} - 0 = 0$

$f(x)$ は $x = 1$ で極小値かつ最小値をとり、その値は 0 である。

$x \neq 1$ なので、$f(x) > 0$ となる。

したがって、$\frac{x^n - 1}{n} > x - 1$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\frac{x^n - 1}{n} > x - 1$ が成り立つ。