与えられた極限を計算する問題です。 $$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!n^n}} $$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

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\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!n^n}}

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を求めます。

2. 解き方の手順

まず、求める極限を$L$とおきます。

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L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!n^n}}

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両辺の対数をとります。

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\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log \left( \frac{(2n)!}{n!n^n} \right)

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\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \log (2n)! - \log n! - n \log n \right)

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スターリングの公式を用いて、$\log n! \approx n \log n - n$で近似します。すると、

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\log (2n)! \approx 2n \log (2n) - 2n = 2n \log 2 + 2n \log n - 2n

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\log n! \approx n \log n - n

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したがって、

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\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( 2n \log 2 + 2n \log n - 2n - (n \log n - n) - n \log n \right)

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\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( 2n \log 2 + 2n \log n - 2n - n \log n + n - n \log n \right)

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\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( 2n \log 2 - n \right)

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\log L = \lim_{n \to \infty} (2 \log 2 - 1)

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\log L = 2 \log 2 - 1 = \log 4 - 1 = \log 4 - \log e = \log \frac{4}{e}

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L = \frac{4}{e}

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3. 最終的な答え

$\frac{4}{e}$