(1) 関数 $f(x) = -3\sin x + 2\cos x$ の $0 \le x \le \pi$ における最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める。 (2) 関数 $f(x) = \cos^2 x + 6\sin x \cos x + 7\sin^2 x + 1$ の $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ における最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = -3\sin x + 2\cos x$ の $0 \le x \le \pi$ における最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める。

(2) 関数 $f(x) = \cos^2 x + 6\sin x \cos x + 7\sin^2 x + 1$ の $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ における最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角関数の合成を行う。

$f(x) = -3\sin x + 2\cos x = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} \sin(x + \alpha) = \sqrt{13} \sin(x + \alpha)$

ただし、$\cos \alpha = \frac{-3}{\sqrt{13}}, \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}$ とする。

$0 \le x \le \pi$ であるから、$\alpha \le x + \alpha \le \pi + \alpha$ となる。

$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} > 0$ より、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ である。

よって、$f(x)$ の最大値は $\sqrt{13}$ であり、そのときの $x$ は $x + \alpha = \frac{\pi}{2}$ より、$x = \frac{\pi}{2} - \alpha$ である。

最小値を求める。$g(x) = \sin(x + \alpha)$ と置くと、$g(\alpha) = \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}$ で、$g(\pi+\alpha)=\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha=-\frac{2}{\sqrt{13}}$.

よって、$f(x)$ の最小値は $-\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=-2$ であり、そのときの $x = \pi$.

(2)

三角関数の倍角の公式を利用する。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x, \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$f(x) = \frac{1 + \cos 2x}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + 7 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x + 3 \sin 2x + \frac{7}{2} - \frac{7}{2} \cos 2x + 1 = 5 - 3 \cos 2x + 3 \sin 2x$

$f(x) = 5 + 3(\sin 2x - \cos 2x) = 5 + 3\sqrt{2} \sin(2x - \frac{\pi}{4})$

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ より、$0 \le 2x \le \pi$ となり、$-\frac{\pi}{4} \le 2x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$

よって、$f(x)$ の最大値は $5 + 3\sqrt{2}$ であり、そのときの $x$ は $2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ より、$x = \frac{3\pi}{8}$ である。

最小値は $2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$ のとき、つまり $x = 0$ であり、 $f(x) = 5 - 3 = 2$ となる。

3. 最終的な答え

(1)

最大値: $\sqrt{13}$, $x = \frac{\pi}{2} - \alpha$ (ただし、$\cos \alpha = \frac{-3}{\sqrt{13}}, \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}$)

最小値: -2, $x = \pi$

(2)

最大値: $5 + 3\sqrt{2}$, $x = \frac{3\pi}{8}$

最小値: $2$, $x = 0$