関数 $y = 2\sin\theta + 2\cos^2\theta - 1$ の $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ における最大値、最小値、およびそれらを与える $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin\theta + 2\cos^2\theta - 1$ の $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ における最大値、最小値、およびそれらを与える $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて、関数を $\sin\theta$ の関数として表します。

$y = 2\sin\theta + 2(1 - \sin^2\theta) - 1 = 2\sin\theta + 2 - 2\sin^2\theta - 1 = -2\sin^2\theta + 2\sin\theta + 1$

ここで、$t = \sin\theta$ と置換します。$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ であるから、$-1 \leq \sin\theta \leq 1$ となり、 $-1 \leq t \leq 1$ です。

したがって、$y = -2t^2 + 2t + 1$ となります。

この関数を平方完成します。

$y = -2(t^2 - t) + 1 = -2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{4}\right) + 1 = -2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 1 = -2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$

$t = \frac{1}{2}$ のとき、最大値 $\frac{3}{2}$ を取ります。このとき $\sin\theta = \frac{1}{2}$ であり、$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{6}$ です。

また、$t = -1$ のとき、$y = -2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -2 - 2 + 1 = -3$ であり、$t = 1$ のとき、$y = -2(1)^2 + 2(1) + 1 = -2 + 2 + 1 = 1$ です。

よって、$t = -1$ のとき最小値 $-3$ を取ります。このとき $\sin\theta = -1$ であり、$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ であるから、$\theta = -\frac{\pi}{2}$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{3}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき)

最小値：$-3$ ($\theta = -\frac{\pi}{2}$ のとき)