問題1は、2階線形非同次微分方程式 $y'' + 3y' = 6x$ について、特殊解 $v(x) = x(Ax+B)$ を用いて、AとBの値を求め、一般解を求める問題です。 問題2は、2階線形非同次微分方程式 $y'' - 4y' + 4y = e^x$ を未定係数法で解くために、まず同次微分方程式を記述し、その特性方程式を求め、基本解を求める問題です。

1. 問題の内容

問題1は、2階線形非同次微分方程式 $y'' + 3y' = 6x$ について、特殊解 $v(x) = x(Ax+B)$ を用いて、AとBの値を求め、一般解を求める問題です。

問題2は、2階線形非同次微分方程式 $y'' - 4y' + 4y = e^x$ を未定係数法で解くために、まず同次微分方程式を記述し、その特性方程式を求め、基本解を求める問題です。

2. 解き方の手順

**問題1**

(1) 特殊解の係数A, Bの決定

$v(x) = x(Ax + B) = Ax^2 + Bx$ を与えられた微分方程式 $y'' + 3y' = 6x$ に代入します。

まず、$v'(x)$ と $v''(x)$ を計算します。

$v'(x) = 2Ax + B$

$v''(x) = 2A$

これらを元の微分方程式に代入すると、

$2A + 3(2Ax + B) = 6x$

$2A + 6Ax + 3B = 6x$

$(6A)x + (2A + 3B) = 6x + 0$

両辺の係数を比較して、

$6A = 6$ かつ $2A + 3B = 0$

$A = 1$

$2(1) + 3B = 0$

$3B = -2$

$B = -\frac{2}{3}$

(2) 一般解の決定

与えられた非同次微分方程式 $y'' + 3y' = 6x$ の同次方程式は $y'' + 3y' = 0$ です。

特性方程式は $\lambda^2 + 3\lambda = 0$ であり、解は $\lambda = 0, -3$ です。

したがって、同次方程式の一般解は $C_1 + C_2e^{-3x}$ です。

ここで、$C_1$と$C_2$は任意定数です。

非同次方程式の特殊解は、$v(x) = x(Ax + B) = x(x - \frac{2}{3}) = x^2 - \frac{2}{3}x$です。

したがって、非同次方程式の一般解は、同次方程式の一般解と特殊解の和で表されます。

$y = C_1 + C_2e^{-3x} + x^2 - \frac{2}{3}x$

**問題2**

(1) 同次微分方程式の記述

与えられた非同次微分方程式 $y'' - 4y' + 4y = e^x$ の同次方程式は $y'' - 4y' + 4y = 0$ です。

(2) 特性方程式の記述

同次微分方程式 $y'' - 4y' + 4y = 0$ の特性方程式は $\lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0$ です。

(3) 基本解の決定

特性方程式 $\lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0$ は $(\lambda - 2)^2 = 0$ と変形できます。

したがって、重解 $\lambda = 2$ を持ちます。

重解の場合、基本解は $e^{2x}$ と $xe^{2x}$ になります。

3. 最終的な答え

**問題1**

(1) $A = 1$, $B = -\frac{2}{3}$

(2) $y = C_1 + C_2e^{-3x} + x^2 - \frac{2}{3}x$

**問題2**

(1) $y'' - 4y' + 4y = 0$

(2) $\lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0$

(3) $e^{2x}$, $xe^{2x}$